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En Monterrey, México. en el lanzamiento del Libro "Entre dos manos". Enero 2005

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     La hora en Chile Continental

 
































































































 

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Í N D I CE

1. HITOS DEL POSTMODERNISMO

2. ACERCA DE MI POESÍA (Una reflexión)

3. LOS VEDAS Y LA MATEMÁTICA EN LA INDIA

4. ACERCA DE LA CREATIVIDAD EN LA EDUCACIÓN

5. POEMA DE RESPUESTA A UNA CARTA

6. LA ESCUELA PITAGÓRICA

7. UN CUENTO TONTO

8. ACERCA DE UN TEXTO POÉTICO (Una opinión personal)

9. ACERCA DEL ÉXTASIS ESTÉTICO , una reflexión

10. ACERCÁNDOSE A LA MATEMÁTICA. Approaching Mathematics

11. ¿POR QUÉ UN POETA ES UN DIOS?

12. MATEMÁTICA Y ARTE (Una vivencia)

13. EN RELACIÓN A UNA ARMONÍA PERSONAL (Una reflexión)

14. MATEMÁTICA Y POESÍA, algunas ideas en relación a ellas

15. UN SUPLICIO EN PERSIA DE LA ANTIGÜEDAD

16. HACIA UNA ASISTENCIALIDAD GENERAL

17. HOMBRE, CIENCIA Y LEYES CIENTÍFICAS

18. REFLEXIONANDO EN RELACIÓN A LA CRISIS ACTUAL DE LA EDUCACIÓN EN CHILE

19. LANZAMIENTO ANTOLOGÍA "POEMAS DE MAR A MAR"

20. UNA MUERTE ANUNCIADA

21. UNA REIVINDICACIÓN FAMILIAR, en el contexto del "PAGO DE CHILE". (A la memoria de mi padre)

22. PRÓLOGO A UN LIBRO DE CUENTOS, del escritor colombiano Mario ramón mendoza.

23. Presentación en Monterrey México: "Plumas Propositivas" y Edición del libro "Entre gritos de luz"

24. Lanzamiento en Valdivia de CD de Jorge Vio, compositor Valdiviano, en el que se musicaliza poemas de poetas locales, entre los que se cuenta Lionel Henriquez B.

25. CRÓNICA DE UN INCENDIO

26. Elementos de Lógica Matemática y Teoría de Conjuntos.

27. Algunas consideraciones personales acercadel Soneto.

28. ACERCA DE UN POEMA. Una reflexión muy personal.

29. ACERCA DE "PLUMAS PROPOSITIVAS"

30. NOTICIAS DE LA DIRECCIÓN DE EXTENSIÓN DE LA UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE. 25 de Noviembre de 2008

31. REFLEXIONES EN TORNO A LA MATEMÁTICA Y LA POESÍA 

32. POESÍA, una aproximación. 

33. Metapoesía, una aproximación.

34.  NOTICIAS DE LA DIRECCIÓN DE EXTENSIÓN DE LA UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE. 20 y 27 de Abril de 2009 
 

1. HITOS DEL POSTMODERNISMO

Las grandes épocas de la historia de la humanidad se caracterizan por la presencia del hombre inserto en el mundo junto con sus creencias, sus maneras de conducirse y sus visiones. Las grandes épocas son cruzadas por todos los aspectos de la civilización y la cultura, ya sean estos filosóficos, científicos, tecnológicos, artísticos o religiosos. Así se habla de la Edad Media (s. V - s. XVI), de la Epoca Moderna (s. XVII - fines del s. XVIII), de la Contemporánea (s. XIX - s. XX), que muchos autores la incluyen en la Moderna y la Postmoderna (que se inició a fines del s. XX).

La Edad Media se caracterizó principalmente por la creencia del hombre de estar de paso en este mundo, en la que sometería a prueba su inteligencia, su voluntad y sus sentimientos, para así merecer otra vida en que estaba su verdadera salvación. Entre algunos de sus principales exponentes, se tiene a San Francisco de Asís, Abelardo, Santo Tomás de Aquino, Duns Scoto, Dante.

Para poder entender mejor al Postmodernismo, de lo que tratará realmente este escrito, es necesario explayarse un tanto en lo que se refiere a las principales características de la Epoca Moderna y que se dan a continuación:

- La primacía del sujeto, en que sujeto implica objeto, estas son realidades opuestas, irreconciliables entre sí, mutuamente implicadas. El hombre es un sujeto puro, autónomo y hermético. El hombre sólo puede conocer la realidad desde el punto de vista subjetivo. El alma es una mónada autártica y vacía. (Aguilar, 2000)

- El primado de la razón. Sólo con la razón se puede conocer la verdad. No se puede confiar de todo aquello que se obtiene por la fe, la tradición y por la intuición, "...la creencia de la superioridad absoluta del hombre sobre todos los seres de la creación (Roa, A. 1995) . La modernidad deja atrás todo lo religioso, "la infelicidad humana deriva del empañamiento de la razón, lo que ha hecho imposible el gozo de la libertad" (Roa, A. 1995), lo mítico, lo ilusorio y lo misterioso. No se puede perder el dominio racional del mundo. Todas las disciplinas pueden llevarse a códigos matemáticos, haciéndose totalmente objetivas. La verdad es praxis, poderío y dominio (Aguilar, 2000). "El pensar que la democracia es la forma mejor de construir una sociedad para seres de esta clase" (Roa, A. 1995). Se postula la libertad incondicionada del hombre para regir su destino: se combaten todas las formas de sujeción a las monarquías absolutas, al poder económico de grupos o clases, al poder omnímodo del Estado. El hombre se da sus propias normas éticas.

- La idea de un progreso ilimitado La razón es omnipotente y hará progresar al hombre ad infinitum, manifestándose esto en la tecnología. Con esta última se obtiene un cielo nuevo, una tierra nueva. "La utopía moderna es un mesianismo secularizado, donde la diosa razón ha sustituido a Yahvé" (Aguilar, 2000).

Entre los personajes de esta época, se tiene a Okcham, Da vinci, Miguel Angel, Galileo, Descartes, Lutero, Newton, Leibnitz, Spinoza, Cervantes, Goette, Kant, Rousseau, sólo por nombrar algunos.

La Epoca Contemporánea surge como una manera de responder a la época moderna con sus pro y sus contras. Sus principales exponentes e hilo conductor del Postmodernismo, son las escuelas artísticas que fueron conocidas como "vanguardismos" (simbolismo, surrealismo, expresionismo, futurismo y constructivismo) en Europa y América Latina y que tuvieron su punto de partida en el simbolismo Baudelaireano, anunciando el modernismo estético y separándolo de los otros dos conceptos parecidos pero, al mismo tiempo, tan diferentes: la modernización y la modernidad (Quezada. F., 2000). Entre sus representantes y sólo por nombrar algunos, Nietzsche, Baudelaire, Verlaine, Rimbaud, Freud, Marx, Heidegger, Gramsci, Kafka, Einstein, Wittgenstein, Russel, entre tantos otros.

POSTMODERNIDAD
La mayoría coincide que la Postmodernidad no es una cultura que responde a una evolución marcadamente cronológica, ni que se presente como quien va a reemplazar el modernismo, aunque sí la misma Postmodernidad es un movimiento cultural contestatario a la modernidad. En un mismo entorno e incluso en la misma persona se presentan visos de Modernidad y Postmodernidad, como una especie de sincretismo cultural (Forero C., 2000).

Es posible que el postmodernismo haya surgido después de tres siglos de aceleradas transformaciones, sobretodo en el arte y la ciencia, que a pesar de sus asombrosos y positivos resultados, no ha hecho más feliz a nadie, ni tampoco han mejorado la conducta humana, como lo muestra la escalada de violencia a partir de la Primera Guerra Mundial, traducido en terrorismo, corrupción política, aumento de la delincuencia, el tráfico y consumo de drogas, etc.

Hay quienes le dan un comienzo en un día, hora y minutos al comienzo de la postmodernidad, Charles Jencks citado por David Harvey data el paso a la arquitectura postmoderna a las 3:32 Hrs. P.m. del 15 de julio de 1972, cuando el Pruitt-Igoe fue dinamitado por considerarse a estas construcciones modernas como inhabitables (Silva E. 1996). Otros, que habría ocurrido en 1970, después de finalizado el movimiento estudiantil de París en 1968, que sería la última de las utopías modernas, la de la imaginación al poder.

Características de la Postmodernidad.

Son muchas las características que definen a la postmodernidad, sobre todo en los énfasis que se tienen en algunos valores, algunas perspectivas que tendieron a ser absolutas en la modernidad. La Postmodernidad propone: una nueva ética y nuevos énfasis éticos; una estética que crea sus propias leyes, ignorando las leyes de otras propuestas estéticas. La crisis de la racionalidad moderna produjo una ética hedonista. Hay una aceptación de un pluralismo Ético. La ética del todo vale se instala en los corazones de los hombres. La postmodernidad es un estado de ánimo, el resultado de un desengaño.

Dado que el superhombre creado por la modernidad se encargó de explotar los recursos de la naturaleza hasta la irracionalidad, la postmodernidad pone gran preocupación por el medio ambiente, tratando de revertir la situación de mengua de los recursos planetarios. En este respecto debe haber una nueva propuesta de principios éticos globales, con los que se evite la catástrofe ecológica que nos amenaza, el hambre, la guerra, el terrorismo, las pestes, problemas actuales y que son universales.

"En la época postmoderna se llega a la concepción de una sociedad pluralista con valores disímiles, conflictiva, con presencia de coacción, clases con intereses antagónicos y donde se percibe que el Derecho protege los intereses de una parte minoritaria de la población" (García A., 1996)

La postmodernidad no es sólo un estilo de vivir, sino también un modo de pensar. La modernidad prometió que una razón libre engendraría una sociedad libre. La postmodernidad critica a la modernidad en lo siguiente:

- Desencanto de la razón: La razón no es un espejo de la realidad. Marx advirtió que el conocimiento ofrece la imagen desinteresada y parcial de los detentadores del poder. Freud remite todo al insconciente. Heidegger advierte en el pensamiento occidental una tendencia a la objetivación, el cálculo y el raciocinio que olvida otras dimensiones de lo real. Wittgenstein: la razón atrapada en la red del lenguaje vinculada a la historia y al estilo de vida del colectivo humano.

- Aceptación de la pérdida de fundamento: la razón no encuentra un punto fijo donde fijar la reflexión. Esto producía turbación en los modernos. Los postmodernos no se afligen por la perdida de seguridad.

- El rechazo de los grandes relatos o metarrelatos. Las grandes visiones filosóficas, políticas y religiosas típicos de la modernidad, son grandes relatos que buscan dar sentido y coherencia a nuestra experiencia de la vida y a la colectividad humana. Hay que vivir la heterogeneidad. La ética sólo puede ser provisional.

-El fin de la historia. Al renunciar a los metarrelatos se despide el sentido de la historia. Se vive la inmediatez.

- La estetización general de la vida como política. La razón pasa a ser un instrumento fruitivo. El abandono de lo universal nos deja indefensos ante el poder y hace derivar hacia el neocoservadurismo.
(Mazan P., 1991)

Aparecen movimientos religiosos que responden a la nueva concepción antropológica y cultural de la postmodernidad. Nacen así los grupos como son, New Age, los religiosos de origen oriental, nuevas iglesias evangélicas, iglesias cientistas, agrupaciones satánicas, agrupaciones en torno al tema OVNI, etc. "La humanidad postmoderna urge, pues de nuevos valores, 'ideales y concepciones comunes' y esta nueva ética debe trazar un camino ecuménico que comienza por establecer la paz religiosa" (Silva E., 1996).

Se crea el concepto 'la política apolítica'. Hay un aspecto crítico hacia lo político y lo social, lo que se tenía tradicionalmente por política ya no sirve. Quienes participan bajo cualquiera de sus formas de la política, son considerados fuera de toda realidad y de toda lógica. La política debe tender a facilitar el alcance de la felicidad y para ello cuenta con la política de la apolítica (Forero C., 2000).

Generalmente se ha entendido la dimensión social como aquella en la que el hombre se beneficia de los demás y a la vez se debe a los otros. En la concepción postmoderna se reduce a aquella en la que el hombre se une, o asocia o junta, con otros que le pueden asegurar el pasarlo bien sin comprometerse a nada.

En la época en que vivimos ha aparecido la mundialización de la economía o economía de mercado a escala global. Ella ha generado una nueva religión, la religión del mercantilismo. Esta religión tiene como característica que su dogma fundamental es el poder del dinero, sus sacramentos son los productos comerciales, los templos son los bancos y los sacerdotes son los banqueros y los financieros. La ética que sustenta esta religión mercantilista es competitiva y sustituye la ética del compartir. El dios es el Capital (Leonardo Boff, citado por Silva E., 1996). La postmodernidad heredó de la modernidad la institución del consumo. La economía clásica estudió la producción pero no el consumo, suponiendo el comportamiento racional del consumidor que distribuye sus ingresos según sus necesidades. Aparecen elementos como el consumo como ambiente (los grandes almacenes), el consumo como mito (consumir es participar de un pensamiento mágico), el consumismo como simulación (los medios dan a consumir signos, por ej. en la T.V. se dan signos de lo trascendente ya sea político, social, o cultural), el consumo como lógica de diferenciación, consumo desmedido, compulsión al gozo y al narcisismo y, la alineación (el consumo es vivido como ideología democrática, tiene por función corregir las desigualdades sociales de una sociedad estratificada en el ocio, en la autopista y en el refrigerador).

Vattino presenta el mundo postmoderno como un nuevo modo de ser humano, el que se escapa de los códigos modernos, gracias a la acción de los medios de comunicación. Pero estos medios ejercen su sobrecodificación a través de ese proceso de seducción que 'captura' al individuo y lo lleva a vivir en una realidad virtual. En este mundo postmoderno se presenta otro 'centro de poder' que es el massmedia (Gómez I. y col. 1994).

Entre los representantes más destacados y citados, de esta época que sólo comienza hace menos de 50 años, tenemos a Lyotard, Vattino y Harvey.


Es un hecho que este trabajo sólo toca muy someramente al postmodernismo y sus hitos, pues hay mucho que decir en lo que significa el nuevo mundo. Sobre todo en el de las comunicaciones, que permite entre otras cosas de disponer de una biblioteca virtual para desarrollar análisis como éste, en que la mayor parte de la bibliografía corresponde a documentos virtuales obtenidos a través de Internet. y, que lleva a la globalización de casi todas las manifestaciones de la cultura. También hay mucho que decir con respecto a la nuevas tecnologías, a la ciencia emergente de este nuevo siglo que comienza, con todos sus aciertos y problemáticas, entre ellas la bioética. El nuevo arte con un desarrollo que no acepta reglas estéticas predeterminadas, en particular una arquitectura que no está al servicio de la comodidad, sino al de la expresión puramente artística.

También este trabajo omite, en honor a la síntesis, toda una reflexión que puede ser interesantísima en lo referente a las virtudes y defectos que presenta la Postmodernidad y relacionar éstos con particulares intereses.

Lionel Henríquez B.
Valdivia, Chile, Junio de 2000

BIBLIOGRAFÍA

1. Aguilar-Alvarez, S.; Zagal-Arreguín, H. 1997. "Dionisios ¿moderno o postmoderno?". Documento Virtual. http://www.uaca.aca.cr/acta/1997may/sergio01htm
2. Alarcón, Luis. ; Gómez , I.. 2000. "La Postmodernidad como un Subproducto de la Modernidad Dominante". Documento Virtual. http://members.es.tripod.de/Daniel_Sociologo/plaf.htm
3. Crosier, M. 2000. “El Oráculo ensimismado”. http://www.artmenor.telyse.net/texto/dau_007.html
4. Forero, C. 2000. “Postmodernidad y Compromiso Social de la Juventud”. Documento Virtual. http://www.mongrafias.com; cforero@lasalle.edu.co
5. García, A. 1996. "Criminología en la postmodernidad". Documento Virtual. http://margay.fder.uba.ar/centro/juridicas/juridica07/Ortiz.htm
6. Gómez, I.; Alarcón, L. 2000. “El pensamiento postmoderno como línea de fuga”. Documento Virtual. http://www.ngweb.com/latinofil/nrocin/5alarcon.htm#Irey Gómez
7. Maza, P. 2000. "Para entender la postmodernidad". Documento Virtual. http://www.sjsocial.org/relat/23.htm
8. Pérez, R.; Ballesteros, S. 2000. “Una Nueva Forma de Espiritualidad Moderna”. Documento Virtual. http://www.eurosur.org/acc/html/revista/30post.htm
9. Portocarrero, M. 2000. "La danza inmóvil: un prototipo de literatura postmodernista". Docummento Virtual. http://fuentes.csh.udg.mx/CULSH/Sincronia/danza.htm .
10. "Postmodernidad y Corrupción". 2000. http:/www.webhost.cl/~jms/abe/postmodernidad.html
11. Quezada, F. 2000. “Las Claves del Vanguardismo Estético en la Cosmovision Postmoderna”. Documento Virtual. http://www. Geocities.com/Athens/Parthenon/6248/camu.htm
12. Roa, A. 1995. " Modernidad y Postmodernidad. Coincidencias y Diferencias Fundamentales". Editorial Andrés Bello. Santiago. Chile.
13. Sakaiya, T. 1995. " Historia del Futuro: La Sociedad del Conocimiento". Editorial Andrés Bello. Santiago. Chile.
14. Silva, Erwin. 1996. "Etica, Postmodernidad y Globalización". Documento Virtual. http://www.uca.edu.ni/ellacuria//postmode.htm

Estoy convencido que la poesía se presenta por sí sola y como tal no requiere de una presentación, más aún es innecesaria y menos por su propio autor, pues a los ojos de cualquier lector puede resultar o parecer pedante una acción orientada a ese fin, nada más lejos de mi intención. Sin embargo, el hecho de poder entregar una interpretación de lo que he vivido y que se trasunta en mis poemas, me conduce a compartir mis vivencias, darlas desde mi propia perspectiva; a entregar ésta, mi cosmovisión, del alucinante viaje por el mundo de esa personalidad subjetiva, inconsciente (que tan magistralmente describe C. Jung), que habita en la profundidad de mi mundo interno, ese Universo que todos como seres humanos poseemos. Mi intención y deseo es que mis poemas sean una invitación y sólo ello, a reflexionar en torno a la belleza de esa realidad que convive con nuestra personalidad consciente.

Por un lado, concibo la belleza como aquella actitud que se expresa en un embelesamiento al contemplar, libre de todo prejuicio, un objeto que nos atrae, nos impresiona y nos causa una gran satisfacción. También como la que se expresa en el encanto que nos produce el descubrimiento de alguna ley que ha regido, rige y regirá algún tipo de manifestación, o como esa sensibilización frente a lo verdadero.

Por otro lado, considero la realidad como aquello que está constituido por todos los hechos posibles, no sólo los reales, sino también los ficticios, no importando que estos últimos sean contradictorios. Estos hechos determinan que una cosa exista, sea y suceda. También ellos pueden originar, combinándose entre sí con otros hechos o consigo mismo, nuevos elementos, donde estas combinaciones pueden darse por causas naturales o artificiales, en forma ordenada, azarosa, caótica o simplemente sin causa que las provoquen.Esta realidad, para mi, está compuesta no sólo por los elementos (cosas) del mundo exterior, sino también por los de mi mundo interior. Son éstos los elementos que me han circunscrito a través de toda la vida, que han vigilado mi transcurrir del día y la noche y que se han interrelacionado, tanto objetiva como subjetivamente a través de la riqueza de las imágenes. Son sólo ellos los que han buscado, buscan y buscarán emerger, de las manos de la imaginación y de la razón o sin ella; saliendo, al menos, con un velo que quiere, que desea ser retirado con la suavidad de la palabra poética, para mostrar la realidad, mi realidad, en todas sus dimensiones. Realidad que al menos en mí produce autoencantamiento y es lo que quisiera compartir con todo aquel que tenga la actitud de embelezarse contemplando su mundo exterior e interior a través del mío como un simple referente.

Todo el mundo tiene una génesis, un alumbramiento y el que lo desee sólo debe ventilar o dejar que entren otros aires en su cerebro. No sólo se sorprenderá sino que vivirá intensamente el autoencantamiento. Percepciones, sensaciones, emociones, se buscan, se encuentran y en su peregrinar se unen con sentimientos, imágenes e ideas y todos juntos, se engarzan con la naturaleza, el cosmos, el alma individual y el alma colectiva. Esta amalgama se sumerge en profundos hoyos negros, quedando encadenada a las entrañas de éstos, hasta aquel instante en el cual, sincrónicamente, con o sin causa y efecto, o de manera caótica, pero siempre de forma sorprendente, la química cerebral le da impulsos y la hace viajar, en vaivén, entre los hemisferios.

En este viaje que efectúa por túneles visita universos con diversidad de dimensiones, posiblemente conocidos, ya sean éstos reflejos de los reales o simplemente ficticios, para obtener en ellos la energía de escape necesaria y así poder emerger a la luz del día. Sólo con esta energía puede romper la gravedad que la retiene y sólo con ella puede estructurarse en un todo ordenado, como si constituyera un modelo matemático. Y al emerger, esta misma energía la hace mostrarse a través de imágenes transformadas en palabras poéticas, al igual como se muestra el limpio color de los ojos que trasunta la alegría de vivir.

Estos, mis textos son un intento de mostrar la policromía y polifonía que, al mezclarse en la retorta de la realidad, quieren entregar una aproximación de armonía, cuyo destino es hacer vivir, en unos momentos, esos sentimientos que amoldan al encantamiento vital, que hace retomar fuerzas para continuar viviendo con optimismo, autoencantamiento que permite encontrar un hermoso sentido a la vida, sentido que se retrueca en el tener que hacer lo que hay que hacer.Muchos de mis poemas, corresponden a vivencias o experiencias, al decir de Pablo Neruda una "Residencia en la Tierra" y otros, dedicados a consideraciones acerca del espíritu humano, lindantes en la metafísica. En ambos casos, la palabra poética es más indicada que la palabra de la prosa, pues logra un mayor alcance, pues no sólo permite recorrer el Cielo y la Tierra sino también el Infierno, ya sean ellos razonables o imaginables y más aún, en sus ambientes de realidades o fantasías adornados con la armonía de la belleza, realidades y bellezas que no necesitan ser descritas en sus conceptualizaciones en un texto poético, pues son omnipresentes. La sonrisa o el dolor de un niño, plasmado en un artefacto artístico, sólo nos debe emocionar. Son otras actividades distintas de la artística a las que les interesan la descripciones intelectuales, ya sean éstas, la sonrisa o el dolor de un niño u otras.

Como la poesía tiene entre sus características el simbolismo, el lector puede buscar por sí mismo una interpretación o un significado o un sentido al símbolo, que yace oculto tras él, labor que requiere de múltiples lecturas. Mis poemas pueden describirse como una "puerta de vaivén", PUERTA DE VAIVEN... mis manosque son tus manosempujaránla puerta de vaivén.Y mis sentidosque son tus sentidosse equilibraránen la cuerda del vacío...la que debe abrirse una y mil veces, entrando a ésta mi casa-hogar, directamente o a través de un patio lateral hacia las piezas interiores, empujando suave o violentamente las puertas de éstas o simplemente entrando por las ventanas (el lector buscará entrar como guste, ya sea en el orden que he entregado o aquel que le sugieran los títulos que le he dado a ellos, y que pueden agruparse en una tabla que pudiera haber colgado en la pandereta que hace lindar mi casa con las de algún desconocido vecino). El buscará a través de la lectura reiterada, aquella significación, de las incontables posibles, que le haga trascender desde su diario vivir hacia un estadio de contemplación que le alegre su espíritu, en otras palabras, abandonarse a la locura de esa alegría que nos hace elevarnos desde la superficie de la rutina cotidiana hacia esferas superiores, lugar desde el cual se puede apreciar con una mejor óptica que las cosas simples son las que realmente tienen importancia real para conseguir una vida en plenitud.

Por último, como también la poesía es música, mis textos intentan entregar a través de las múltiples lecturas, una incitación al escuchar, con oídos internos, por el sólo hecho de hacerlo y, por qué no, oír los mensajes apremiantes que yo escuché en lo más profundo de la soledad de mi mundo interior como un todo, como una urgencia, mensajes que he intentado trasuntar con la mayor fidelidad que me ha sido y me será posible, a lo largo de todos los poemas que he escrito y que seguiré escribiendo.



Valdivia, Chile, Otoño de de 2003

LOS VEDAS Y LA MATEMÁTICA EN LA INDIA
(A la memoria del amigo y colega Aldo Aguilera M., Phd. Cs. Químicas)

Al principio de la década de los 80 llegó a mis manos el libro “Vedic Mathematics or sixteen simple mathematical formulae from Vedas. Sixteen sutras and their corollaries”, Editado por Hindu Vishvavidyalaya Sanskrit Publication Board en Benares, India en 1965, de la autoría de “Sannkaracarya, Jagadguru” (*). Fue tanto el interés que tuve por su lectura, no tanto por la matemática que encontraría en él, sino que también por conocer algo acerca de la cultura milenaria India, que lo leí con apasionamiento desde principio a fin en muy poco tiempo. Todo lo que encontré en este libro fue en extremo apasionante lo que me motivó posteriormente a extraer algunos tópicos del Libro, los que analicé e investigué, encontrando nuevos conocimientos que se derivaban de ellos. Así se lo comenté por esos días a un colega y amigo del Instituto de Química, Dr. Aldo Aguilera M., de mi Universidad, quién se entusiasmó tanto en el tema que me pidió que diera una conferencia en su Instituto acerca de lo que trataba el libro y de los nuevos conocimientos que yo había generado, lo que así hice en Junio de 1984, despertando con ella, también, un gran interés en todos los asistentes a dicha conferencia. Tal interés me llevó a presentarlos en la Revista CUBO de la Universidad de la Frontera de Temuco Chile, lo que se concretó en la publicación del artículo “ALGORITMOS HINDÚES” en 1986. También ese mismo año, presenté en un congreso de matemáticas organizado por el Departamento de Matemáticas de la misma Universidad, otros conocimientos que se habían generado de las ideas extraídas del mencionado libro, conocimientos que finalmente terminaron por consolidarse en un nuevo artículo “SOLUCIÓN DE LA CUÁRTICA” que fue publicado por la misma revista al año siguiente.

De los temas que presenté en la Conferencia en el Instituto de Química, extraigo algunos conocimientos que creo son de interés, para quienes lean este escrito y que corresponden a algunas consideraciones acerca de los Vedas que hace el autor Sannkaracarya, Jagadguru , en el citado libro y, algunas acerca de la Matemática en la India Milenaria, que complementé con otras fuentes, ambas expuestas en la conferencia de 1984 y que ahora traigo a este escrito.

Acerca de los Vedas

Según el autor del libro in comento, la palabra misma “Veda” tiene como significado “La fuente principal e ilimitado almacenamiento de todo el conocimiento”. Esto implica que el Vedas podría incluir en el mismo, todo el conocimiento necesario para el género humano, relatando no sólo los asuntos espirituales, sino que también lo que usualmente se describe como propiamente secular, temporal o mundano, y además los recursos requeridos por la humanidad, para la realización de sucesos completos y perfectos en todas las direcciones concebibles, de todo lo que nos rodea. (**)

En el transcurso de los múltiples razonamientos acerca de los diversos temas, tanto el autor como sus discípulos apuntaron repetidamente, que el Vedas (una de las escrituras religiosas más antiguas del mundo), está relacionado con todas las disciplinas del conocimiento, y entrega al investigador de éstos, todos los requisitos de instrucción y guías en todos los detalles del saber, y en lo científicamente propiamente tal, perfectas líneas de acción.

Los Vedas son cuatro: Rk, Yaju, Sama y atharva, los cuales incluyen a su vez, cuatro Upavedas: Ayurdeva, Gandharvaveda, Dhanurveda y Sthapathyaveda; estos últimos comprenden todas las expresiones del esfuerzo arquitectónico y estructural humano y también las artes visuales. Así tenemos:

(i) Ayurdeva que incluye: anatomía, fisiología, higiene, ciencias sanitarias, ciencias médicas (entre ellas la cirugía), etc.
(ii) Dhanurveda: arquería y otras ciencias militares.
(iii) Gandharvaveda: la ciencia y arte de la música.
(iv) Sthapatyaveda: arquitectura e ingeniería.

El Veda además tiene seis Vedangas que comprenden, gramática, prosodia, astronomía, lexicografía, entre otros.

Tanto los Vedas, como los Upavedas y los Vedangas, forman un cuerpo indivisible de conocimiento divino.

En el Atharveda se encuentran los Sutras (aforismos), destinados a cubrir cada una de las partes de cada capítulo, de cada una de las disciplinas de las matemáticas, incluyendo, aritmética, álgebra, geometría plana y sólida, trigonometría plana y esférica, cónicas -estudiadas –geométrica y analíticamente-, astronomía, cálculo diferencial e integral, etc.

Según los discípulos del autor del libro Matemáticas Védicas que traigo en este escrito, él después de ocho años de investigación del Atharveda, escribió 16 volúmenes acerca de los temas matemáticos dichos en el párrafo anterior, los que estaban desarrollados mediante fórmulas básicas, lamentablemente, según estos mismos discípulos, estos volúmenes se perdieron, pero a pesar de este hecho, el autor antes de su muerte alcanzó a reescribir el libro “Matemáticas Védicas”.

Algunas observaciones acerca de la historia de las matemáticas indias.

Respecto de la historia de las matemáticas indias, se pueden citar algunos pasajes de ciertos indologistas (así se hacen llamar por sus estudios de la cultura India), que al mismo tiempo han sido matemáticos modernos e historiadores de la matemática.

En la página 20 del libro “Acerca de los fundamentos y técnicas de la aritmética”, del profesor G. P. Halstead, se encuentra lo siguiente:

“La importancia de la creación del cero, no puede ser exagerada. Una de las características de la raza india desde sus comienzos, es no haber asignado al cero ningún valor, figura ni lugar determinado. Ninguna creación matemática ha sido tan poderosa para el progreso de la inteligencia y el poder”.

En su artículo “The present mode of expressing numbers” (Las formas actuales de expresar los números) publicado en la revista Indian Historical Quaterly Vol. 3, págs. 530-540, B. B. Dutta escribe:

“Los Indios adoptaron la escala decimal muy tempranamente. El lenguaje numérico de ninguna otra nación era tan científico y con tal estado de perfección que el de los antiguos indios. En los símbolos ellos lograron expresar cualquier número en forma simple y elegante solamente con diez signos. Es la belleza de la notación numérica india, la que atrajo la atención de todos los pueblos civilizados del mundo y quedaron tan encantados de ésta, que la adoptaron”.

En “Bulletin of the American Mathemathical society”, segunda serie, Vol. 25, págs. 366-369, el profesor Ginsburg, en su artículo “New Light on our numerals” (Nuevas Luces acerca de nuestros numerales), dice:

“La notación india fue llevada a Arabia alrededor del año 770 d. c. Por un erudito llamado Kanka, quien fue invitado desde Ujjain a la famosa corte de Bagdad por el Abbaside Califa Al-Manzur (miembro de la dinastía que gobernó el Islam desde el año 750 d.c. hasta el año 1258 d.c.). Kanka enseñó astronomía y matemáticas indias a los escolares árabes, y con su ayuda, ellos tradujeron al árabe el Brama-Sphuta-Sidhanta, desde el Brama Gupta. Los recientes descubrimientos del investigador francés M. F. Nau, prueban que los numerales indios eran bien conocidos y apreciados en Siria, a la mitad del siglo séptimo d.c.”.

Acerca de este último punto, B. B. Dutta escribe, “Desde Arabia los numerales lentamente marcharon hacia el Oeste a través de Egipto y del norte de Arabia para finalmente entrar en Europa en el siglo XI. Los europeos llamaron a estos numerales, NOTACIÓN ARABICA”. Pero los árabes mismos, tanto del este como del Oeste, unánimamente llamaron a esta notación, FIGURAS INDIAS (“Al-Arcan-Al-Hindu”)”.

Las citas anteriores de alguna manera marcan la contribución de la India en el s. VII d.c. y en especial al conocimiento de las matemáticas del mundo.

Algoritmos hindúes

De los algoritmos presentados en 1984, y por por la importancia que todavía encuentro, por su relevancia para la enseñanza de la matemática básica, extraigo uno, que según la fuente de la cual los estudié(*), solucionaba para los niños de esa India ancestral, el problema del aprendizaje de las tablas de multiplicar. Tal algoritmo tiene mucho sentido consignarlo o glosarlo de alguna manera, ya que con su uso y práctica, sería necesario memorizar sólo las tablas de multiplicar hasta la correspondiente al número 5, ya que las restantes, del 6 al 9, se aprenden e internalizan fácilmente, a través de la ejercitación reiterada de este algoritmo. Con ello el niño-alumno, dejaría de angustiarse, al menos, con la memorización de estas tablas de multiplicar, que son las que le causan mayores obstáculos. Hago notar aquí, que este problema, es uno de los que presentan mayores dificultades en el niño que aprende matemática, incluso hasta en nuestros días y, que en muchos de ellos, se arrastra por muchos años, originándose por ello un gran rechazo hacia esta disciplina y que no en pocos casos dura de por vida. En la misma fuente encontré mencionado el hecho que estos conocimientos se encuentran consignados en los Vedas, libros sagrados de la religión Hindú, en que sus característica no son sólo la de relatar materias espirituales, sino que también, de manera tácita, expresiones que corresponden a otras disciplinas cultivadas en la India ancestral; y, como es natural esperarlo, las matemáticas están presentes en ellos, dado que es un conocimiento básico en toda cultura, las que aparecen bajo formas de sutras o aforismos que, por lo complejo de la escritura del sánscrito, son difíciles de interpretar. Finalmente, también en la fuente se informa que por razones desconocidas, estos aprendizajes se perdieron en la lejanía del tiempo.

Sutra o algoritmo Nikhilam

Este algoritmo está basado en la siguiente propiedad algebraica:

(x — a) (x — b ) = x (x — a — b ) + a b

En esta expresión, la letra x se denomina la base y generalmente toma como valor, una potencia de 10 o algún submúltiplo de esta potencia.

Por simplicidad, este algoritmo lo daré a conocer mediante un par de ejemplos.

1. Multiplicación entre los enteros 6 y 8.

Como: 6 = 10 - 4 y 8 = 10 - 2, entonces:
48 = ( 10 - 4 )(10 - 2 )
= 10 x (10 - 4 - 2 ) + 4 x 2
= 10 x ( 6 - 2 ) + 4 x 2

Ahora escribiendo este último resultado en la forma siguiente:

Réstese 6 menos dos y póngase este resultado bajo el 8 ( línea (1) )

Multiplíquese 4 por dos y póngase este resultado bajo el 2 ( línea (2) )

El resultado de la multiplicación entre 6 y 2 aparece en esta línea ( línea (3) )

Observación. El diagrama anterior debe interpretarse en español (lenguaje materno), como:

Primero, pregúntese cuanto le falta a 6 para ser 10. Obviamente la respuesta es 4. Ambos números se escriben en (1): 6 — 4

Segundo, pregúntese cuánto le falta a 8 para ser 10. Obviamente la respuesta es 2.
Ambos números se escriben en (2). 8 — 2

Tercero, multiplíquese 4 por 2, cuyo resultado es por cierto 8 y escríbase éste bajo los números 4 y 2.

Cuarto, sustraiga 2 a 6, es decir haga la resta 6 - 2 (también puede ser 8 – 4 ), y el resultado que es obviamente 4, escríbase bajo los números 6 y 8.

Finalmente, léase el resultado de la multiplicación de 6 y 8, bajo la línea horizontal, es decir 48 en (3).

2. Multiplicación entre 7 y 6.

Este caso, como los que originan números mayor que la decena en el paso (3), requieren una consideración especial.

De la misma manera que en el ejemplo anterior para (1 y (2):

Observación. Nuevamente, El diagrama anterior debe interpretarse en español (lenguaje materno), como:

Primero, pregúntese cuanto le falta a 7 para ser 10. Obviamente la respuesta es 3. Ambos números se escriben en (1): 7 — 3

Segundo, pregúntese cuánto le falta a 6 para ser 10. Obviamente la respuesta es 4.
Ambos números se escriben en (2). 6 — 4

Tercero, multiplíquese 3 por 4, cuyo resultado es por cierto 12 y escríbase el dígito 2 de 12, bajo los números 3 y 4 en (3) y el número 1 déjese a manera de reserva.

Cuarto, sustraiga 4 a 7, es decir haga la resta 7 - 4 (también puede ser 6 – 3 ), y el resultado que es obviamente 3, escríbase bajo los números 7 y 6.

Quinto, escríbase el número 1 (que se dejó como reserva) bajo el 3 en (4).

Sexto, finalmente, léase el resultado de la multiplicación de 7 y 6, bajo la línea horizontal, en (5), es decir 42, en el que el dígito 4 resulta de la adición de 3 y 1, ubicados en (3) y (4).

Finalmente y como una manera de complementar este escrito, el lector debiera practicar este algoritmo con las tablas del seis al nueve.


Lionel Henriquez Barrientos
Noviembre de 2005







_________________
(*) El autor conocido como Jagdguruji o Gurudeva (1884-1960), nació en Madras, India. Estudió en las Universidad de Madras. Posteriormente obtuvo el M.A. en el American Colegge de Sciencies, Rochester, New York, de su centro en Bombay. En 919 fue iniciado en en la orden de Samayasa en Vanarasi, India. En 1925 se convierte en el jefe máximo de su orden, cargo que ocupa hasta el día de su muerte.

(**) Al respecto, es mi creencia al pensar en este tema, que lo anterior, quizás sólo es una constante en todos los libros religiosos escritos en la historia de la humanidad, lo que los estudiosos en estos temas claramente encontrarán ya sea en la Biblia del Cristianismo, Antiguo y Nuevo Testamento; en los textos sagrados Judíos, la Biblia Judía, la Cábala, la Torá y el Talmud; en el Islamismo, el Corán y también en otras religiones, con sus correspondientes libros sagrados, que existen o han existido en la historia del hombre.

LA ESCUELA PITAGÓRICA

UN CUENTO TONTO

En tiempos muy lejanos, existía un país cuyos ciudadanos estaban divididos por voluntad propia en tontos e inteligentes a excepción del gobernante que no era parte de esta división, ya que no había podido ser clasificado en alguna de estas alternativas por toda la comunidad, incluso por él mismo, por razones que no vale la pena mencionar.

La vida en este pueblo transcurría la mayor parte del tiempo en forma apacible, salvo cortos períodos en que el gobernante junto a sus gobernados, debía tomar decisiones de importancia, puesto que para las que no la tenían decidía por cuenta propia. Como es de suponerlo, en estos pequeños lapsos de tiempo las discusiones abundaban y a pesar de todo la cordura siempre terminaba por imponerse y se tomaba la mejor decisión.

El principal oficio, entre otros, de  los  ciudadanos inteligentes era el de estudiar los grandes problemas y tratar de encontrarles la mejor solución. En cambio, para los tontos que eran minoría, todo el tiempo lo dedicaban a discutir nimiedades, pues pensaban que para solucionar los asuntos importantes, en el transcurso de la discusión con los inteligentes tendrían que imponerse, como era natural esperarlo, las tonteras propugnadas por ellos, con la anuencia y satisfacción tanto del gobernante como de los gobernados autocalificados inteligentes.

Como casi todas las cosas buenas que suceden en esta vida están destinadas a durar poco, dos acontecimientos vinieron a menoscabar esta apacibilidad.

Cierto día, que por la lejanía del tiempo es difícil precisar, un extranjero informado de lo bien que se vivía en este país, debido principalmente a la buena estructura de sus miembros para la toma de decisiones, atinó a tomar la determinación de ir a radicarse en él y de esta forma solucionar, al mismo tiempo, los grandes problemas por lo que estaba atravesando en su lugar de origen. De la manera como llegó y como fue aceptado por la comunidad, no es ésta la ocasión para referirlo, pero se puede decir que da para otro cuento.

Desde el primer día, a pesar de que estaba informado, se le dieron a conocer las reglas necesarias para que subsistiera y se le solicitó que se autocalificara para integrar uno de los grupos. Como él era inteligente, así él lo creía, se integró de inmediato al grupo de los inteligentes y prestamente se abocó al estudio de los grandes problemas; pero cual no sería su sorpresa, cuando al empezar a emitir las soluciones de estos grandes problemas, observó que las suyas ni siquiera eran tomadas en cuenta. Como se consideraba inteligente, empezó a fabricar grandes problemas para que fueran solucionados por el resto del grupo y así tomar conocimiento cabal de cómo ellos los enfrentaban y de esta manera poder asimilarse totalmente, pues razonaba, que si actuaba como ellos, sus soluciones serían consideradas. No tardó mucho más en darse cuenta, de que por bastante que hiciera, difícilmente serían admitidas y tampoco en percatarse, de que las soluciones a los problemas por él planteados diferían de las que él elaboraba, hasta el punto de ser antagónicas. En ese momento tenía tres opciones: volver a su lugar de origen, adoptar la posición del gobernante y la tercera, integrarse al grupo de los tontos. Las dos primeras las desestimó por razones obvias y por consiguiente, se integró al grupo de los tontos, ya que era la opción más cuerda de las tres. 

Desde el primer momento que entró en contacto con los integrantes del grupo de los tontos, como se creía inteligente, trató de liderar este grupo, pues de donde el provenía los más capaces eran líderes. Al tratar de hacerlo rompió la regla básica de que en el grupo no podían haber líderes con derecho a continuidad, ya que éstos se daban sólo en el curso de las discusiones con los inteligentes y estaban supeditados a la improvisación. A pesar de hacer las cosas con mucha astucia, fue descubierto y puesto en su lugar.

Lamentablemente, las cosas que el extranjero había empezado, tomaron cuerpo en uno de los integrantes de! grupo de los tontos, el cual después de algunas reflexiones acerca de lo grande que se había tornado el grupo y de su gran capacidad de solucionar pequeños problemas, decidió derrocar al gobernante, lo que consiguió sin grandes esfuerzos y de paso desterrar al personaje que tantos problemas había traído a esta extraña comunidad. Del Gobernante se puede decir que dolido por lo que le habían hecho decidió autoexiliarse en un país vecino.

Transcurrido cerca de un año, el nuevo gobernante determinó que su lugar era el que siempre había tenido y mandó a buscar al ex-gobernante para que se hiciera cargo nuevamente del gobierno, lo que éste aceptó gustoso, puesto que durante todo este tiempo no había podido realizar las funciones a las que estaba acostumbrado.

A su vuelta, sus dos primeras medidas fueron las de perdonar al usurpador y permitir el ingreso de! extranjero que vivía y penaba por volver a este curioso país. Estas medidas fueron las únicas de trascendencia que se le permitieron al gobernante, puesto que el perdón y la radicación eran dos de las medidas tácitas que sólo eran manejadas por la totalidad de la comunidad.

Se puede agregar además, que el desterrado, durante el tiempo en que no se le permitió la entrada, pudo reflexionar acerca de las reglas de esta Comunidad y con ello
determinar que no podía haber otro país donde el pudiera vivir de una manera mejor, también que a su regreso trabó una inmensa amistad con el usurpador y que gracias a ésta, ambos pudieron sopesar la situación y determinar que harían lo posible para que nunca más pasaría algo similar a lo que ellos habían contribuido que sucediera.

Finalmente dícese por ahí, que ambos pudieron readaptarse sin dificultad y que contribuyeron a que este país pudiera volver a la normalidad de sus reglas y siguiera desarrollándose por mucho tiempo más.

Lionel Henríquez B.
Valdivia, Junio de 1988

“El acto de la creación es, que duda cabe, un acto de orden individual. Y es personal, incluso cuando la elaboración total del producto creado se presenta como expresión de la acción conjunta de varios individuos. La propiedad de lo creado puede, por cierto, ser colectiva; empero, la intuición bruta y originaria de la idea, de la acción o del sentimiento que en algún momento modificará el cuadro de las creencias, costumbres y valores sancionadas por el grupo social, brotará siempre en un individuo antes que en otro”. Linton, R. (1960), citado por Castro, E., en su ensayo “Sobre las Relaciones entre Creatividad y Cultura” (1989:97).

En un poema debe haber obviamente una forma y un contenido que atrapen al lector. En la forma debe cuidarse el ritmo, pues uno que lo tenga monótono, no se terminará de leer, precisamente por ello, quizás releyéndolo el autor podrá darse cuenta y efectuar las correcciones necesarias, y debe hacerlo por su propio crecimiento en el aprendizaje de este bello arte, ya sea éste numérico, de vocales o de consonantes si es en verso libre y la rima, asonante y consonante si es de corte clásico, cuidando en este último caso que ella sea construida con sustantivos y adjetivos que sean de aquellos que no maten el poema, pues con estos ayudará al lector a enriquecer su lectura ya que con la concatenación de ellos puede complementar el texto. También el autor debe cuidar la sintaxis, ayudándose de un diccionario, pues si desea llegar a ser un poeta, tendrá la difícil responsabilidad del uso adecuado del lenguaje, pues puede internalizar errores en sus lectores y, aquí no vale el que no le interesa lo que hagan los que lo lean; el que piense así, aunque su poema o texto sea muy bueno en su contenido, no trascenderá más allá de ser un creador de textos catárticos que apunten solamente a congraciar su ego, pues la mayoría de los que lo leen y que tengan criterio estético, tirarán su poema al cesto de los papeles. Apuntando también en la forma, las imágenes y metáforas que se construyan deben ser creativas, tales que sorprendan al lector, quien al leerlas pueda usar su imaginación para construir su propia interpretación del mensaje, tratando de capturar lo que el poeta quiso decir, y si estas imágenes contienen símbolos, que se deben decodificar, tanto mejor, pues el mensaje tendrá más de una interpretación haciéndolo más valioso aún. Existe siempre un peligro en la construcción de un poema y es el de caer en los lugares comunes y si estos son de la prosa, la que le está permitido carecer de imágenes, es peor, y si estos provienen de la poesía, hay que tener el cuidado de que no sean de aquellos versos que están escritos en muchas partes y y más malo aún sería, si ellos han sido incluidos en esas tarjetas de saludos u otras que no viene al caso enumerar. En relación al mensaje mismo, este puede provenir de esas urgencias internas que agobian al poeta, tanto por que son problemas irresolubles, o bien por ser de aquellas que son simplemente emociones, sensaciones o sentimientos que lo incitan a transmitirlas, trasuntándolas en el mensaje. Es claro que en este respecto, el medio o el ser interno mismo del creador, puede provocar estas urgencias. Si es del medio, éste puede ser cultural, social, político, histórico, psicológico o cualquier otro, y si es de su propio interior, puede corresponder a sus íntimos estados de ánimo, emociones sentimientos y sensaciones. Lo ideal es que en cualquiera que sea el caso, ellos no sean llevadas a un texto sólo como un medio catártico, si no más bien como una expresión de la belleza que habita en el interior del creador y que serán parte de su manifestación estética y sobretodo que se de cuenta a cabalidad que en este oficio de escribir no se debe ser monotemático, el que así es, cansará muy pronto a sus lectores. Un verdadero POETA debe escribir a todo y de todo, pues es un dios creador y como dios debe recrear en su obra a todo su mundo o a todos los universos que lo circunscriben, y al llevarlos a un texto debe hacerlo con CREATIVIDAD, NOVEDAD y ORIGINALIDAD, de tal manera que el lector no solamente pueda percibir estos rasgos al momento de leer el texto, sino también le permitan que vuele con esas imágenes, intentando decodificar el mensaje o montar un propio cuento, también en un propio y creativo escenario, a partir de esta decodificación.

Valdivia, Chile. Invierno de 2005
Lionel Henríquez Barrientos

El sentir intensamente al internarse por los laberintos de un poema, al reflexionar su mensaje desde una propia óptica,  se llega al éxtasis estético, ese que hace  trascender los propios espacios de soledad, de silencios, experiencia que  se guarda en la memoria, como un acto supremo de vida, pues hace conocer y apreciar la belleza. Éxtasis  que lleva a elevarse, desligarse de la materialidad, conectarse con el mundo del espíritu, desde donde no sólo se puede vivir la Belleza, sino que también las grandes Verdades, reales,  místicas, aquellas que permiten desarrollarse en plenitud y también a vivirlas en el mundo subjetivo, interno, aunque la personalidad consciente no se percate.

        Es a través de expresiones como las artísticas, entre ellas las poéticas, que se puede apreciar y conocer las urgencias interiores que el artista plasma en sus artefactos artísticos, como un mensaje de su mundo interno o de sus propias circunstancias, lo que hace a través de la comunicación que efectúan los símbolos trasuntados en ellos, esos  que el artista quiéralo o no, quedan en el espacio para una posterior interpretación. Con este acto de orden superior, usando la imaginación y la intelectualidad con una voluntad de impermeable concentración, se tiene la posibilidad de sorprenderse con un universo  ajeno, y que puede complementar el propio,  al recrear o internalizar en él,  visiones, sensaciones, sentimientos ajenos, experiencias que tienen la riqueza  de dar a conocer nuevos y distintos caminos con los que se puede crecer aún más.

Desde este estadio, al  volver a la realidad, leyendo y releyendo la simbología de los colores,  silencios y formas, expresadas en ritmos, melodías, imágenes, metáforas, manifestados en los artefactos artísticos, y al  efectuar profundas reflexiones en torno a ellos, se  puede llegar, entre otras cosas relevantes, a tomar el Humanismo como filosofía de vida y encarnar sus  valores  en todo el ser, tanto en la personalidad inconsciente, subjetiva, como en la objetiva, consciente;  pues sólo en esos momentos cósmicos, el ser trasciende su propia materialidad, ya que es desde la altura, que  se  establecen caminos que conducen a la armonía personal y social.

Creo, desde mi perspectiva personal y vivencial, que se puede llegar a apreciar, desde ese lugar al que conduce el éxtasis,  las cosas relevantes de la vida, de una manera que trasciende toda realidad material que circunscribe el diario caminar y que aleja de los asuntos realmente sin importancia

Estudios pedagógicos (Valdivia)ISSN 0718-0705 versión on-line

Estud. pedagóg. n.23 Valdivia 1997


Como citar este artículo

Estudios Pedagógicos, Nº 23, 1997, pp. 41-49
ENSAYOS

ACERCANDOSE A LA MATEMATICA *
Approaching mathematics


“¿Quién no sabe que los llamados matemáticos tratan de cosas oscurísimas, recónditas, múltiples y sutiles? Y, sin embargo, ha habido entre ellos hombres consumados, hasta el extremo de que bien puede decirse que nadie se dedica a esta ciencia con ardor sin conseguir lo que desea”.

Marco Tulio Cicerón

Profs. Lionel Henríquez B., Adolfo Quiroz R., Pedro Reumay R.
* Este trabajo fue presentado en el Seminario de Enseñanza de la Matemática en la Educación Universitaria, patrocinado por el Consejo de Rectores Sur y la Universidad Austral de Chile y efectuado en Valdivia, Chile, los días 11 y 12 de enero de 1996.
Resumen
En este trabajo se tratan algunos elementos de interés respecto de los agentes externos (dados por el medio o por el contexto), e internos (reflexión personal), que influyen en las actitudes del alumno al enfrentar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Entre éstos estarían los modelos humanos que él dispone, las guías adecuadas de ejercicios y el conocimiento y buen uso de los razonamientos y operaciones mentales, entre los cuales se destacan y analizan la abstracción e imaginación.
Abstract
In this work some interesting elements about external agents (given by the environment or the context) and internal agents (personal thinking), that influence the student in the teaching-learning process of mathematics are developed. Among these would be the human patterns available, the accurate exercise guide, and the knowledge and right use of the conclusions and mental operations, in particular, abstraction and imagination.

INTRODUCCION
Una dificultad importante en el estudio de las materias escolares, en particular la matemática, es la falta de motivación para hacerlo, lo que se debe fundamentalmente a las actitudes negativas con las que el estudiante enfrenta esta disciplina. Estas actitudes pueden deberse, entre otras, a una mala adaptación del escolar al medio en que se desarrolla el proceso de aprendizaje, pues en su inserción a este medio no se consideró que existe una interacción dinámica y mutuamente perfectiva entre él y su situación total de aprendizaje (Doval y Santos 1995:123). Esta situación puede incidir en emocionalidades negativas, entre las cuales se puede destacar el temor al fracaso y las frustraciones (Mager 1971:66 y ss.). Por lo general, el estudiante desconoce que tanto estos temores como las frustraciones son originados por agentes externos e internos provenientes del medio, del contexto del proceso de enseñanza-aprendizaje y de sí mismo, este último como centro de la conciencia, es decir el yo (Jung 1934, 1992:96). Es necesario que el estudiante devele estos agentes, para que en el peor de los casos disminuyan sus emocionalidades negativas, puesto que “las condiciones y las consecuencias positivas universales son precisamente lo opuesto de las repulsivas universales. Aquellas son las que encaminan hacia experiencias satisfactorias y las reconocen, aseguran una diversidad de estímulos, llevan a un acrecentamiento de la propia estima o a mejorar la imagen propia y producen un refuerzo de la confianza” (Mager 1971:74 y 75).
El objetivo del presente ensayo es entregar algunos elementos de interés en relación a estos agentes, de modo que sirvan de base a posteriores análisis y reflexiones. Elementos que al ser dados a conocer por el profesor a los alumnos, éstos los manejen en profundidad y así puedan transformar sus actitudes negativas en positivas, de tal manera que tengan una conducta apropiada para obtener logros deseables. Hay que tomar en cuenta que “el aprendizaje compromete a toda la fisiología. El estrés y la amenaza afectan el cerebro, el que es influenciado de manera diferente por la paz, el desafío, el hastío, la felicidad y el contento” (Salas et al. 1995:117).
Es principalmente por lo anterior que este trabajo girará tanto en torno del estudio de algunos agentes externos (los padres, profesores y apoyos materiales), como el de los agentes internos, entre los cuales se destacan y desarrollan en una mayor medida la creatividad, la imaginación, la abstracción y la intuición matemática. Estos últimos son de gran importancia por la influencia que tienen en la adquisición de la autoconfianza que debiera tener un alumno frente al proceso de enseñanza-aprendizaje.
Padres y profesores. Mager (1971:45-52) relata la importancia de los modelos humanos en el proceso enseñanza-aprendizaje, en especial de los padres y los profesores. En relación a estos últimos, cita un estudio efectuado por él a 65 alumnos con respecto a preferencias y rechazos de los alumnos a determinadas materias escolares, entre las cuales está la matemática.
En relación a los modelos que son los padres para sus hjos, al menos en sus primeros años de escolaridad, se da el caso que, el niño al solicitarles ayuda, éstos responden algunas veces con agrado, otras veces con indiferencia o por último con desagrado, olvidando o desconociendo que este niño tenderá a imitar sus actitudes y conductas. “La madre, al igual que el padre, transmite un modelo de persona tanto al hijo como a la hija. Debido a los lazos afectivos y al permanente contacto que une a padres e hijos, la influencia de aquéllos sobre éstos es normalmente la más poderosa durante la infancia” (Mulsow y Pérez Blasco 1994:29). Al respecto, durante algunos años, al iniciar los cursos, con alumnos novatos, les preguntábamos cuáles serían a juicio de ellos las causas de motivación, indiferencia o desmotivación hacia el aprendizaje de la matemática. Las respuestas más comunes fueron las de haber tenido un profesor que con sus actuaciones les había provocado tal actitud. Otros respondieron que habían sido sus padres en sus primeros años de escolaridad. Ambas respuestas fueron dadas cada vez que lo preguntábamos, la primera era más significativa que la segunda, que tenía una frecuencia de una o dos de cada 50 alumnos, cifra no despreciable.
En relación a las actuaciones de los profesores de matemática que llevan al alumno a tomar una determinada actitud hacia esta disciplina, se puede individualizar, entre otras, aquella situación en la cual el estudiante no puede resolver un problema fácil y puntual, ante el cual responde vaguedades. Frente a esta situación algunos profesores actúan precipitadamente, no pensando que esto podría deberse al hecho de que el estudiante estuviera afectado emotivamente por alguna discusión previa a la clase, por desadaptación, por desafecto u otra causa, todo lo cual le impide concentrarse adecuadamente. Es por ello que nos parece necesario tomar en cuenta el siguiente planteamiento: “aceptar las respuestas de los discípulos, correctas o no, como intentos de aprender, y acompañarlas de comentarios de aprobación y no de rechazo” (Mager 1971:75).
El contexto. Entre los múltiples componentes del contexto del proceso enseñanza-aprendizaje están los apoyos materiales, entre los cuales figuran los textos de estudio (texto guía, textos complementarios, guías de ejercicios, etc.), los medios audiovisuales y otros que permiten al alumno optimizar su aprendizaje. Es conveniente que él se interese positivamente en éstos; por ejemplo, ante una tarea fácil, tratar de usar sólo los necesarios y limitar el tiempo de ejecución y ante una tarea difícil pedir el asesoramiento estrictamente necesario, tratando de evitar los distractores que puedan dispersar su tensión atentiva. Es decir, que sea un alumno que esté frente a un proceso educativo que “construye y propone modelos de intervención pedagógica válidos para elevar los cocientes de adaptabilidad interactuantes en el hecho educativo: los cocientes de adaptabilidad del educador a las características del educando y del educando a los requerimientos de cada tarea”. Proceso que ofrezca “... a los alumnos oportunidades de desarrollo cognitivo holístico (impulsivo-reflexivo)” (Doval y Santos 1995:126-127). En síntesis, que sea un alumno adaptativo.
Pero frente a lo anterior existe una consideración que no puede dejarse de lado. Esta dice relación con la gran cantidad de información que se requiere en el estudio de la matemática. “Too seldom explicit notice taken of the fact that what we ‘cover’ in one or two semester of calculus is destillation of over 150 years work of some brilliant people. Of course, this reflects a pedagogical decision to provide the student with needed mathematical tools as quickly as possible” (Long 1986:610) (…asimismo raramente hacemos notar que lo abarcado en uno o dos semestres de cálculo es una destilación de 150 años de trabajo de algunas personas muy brillantes. Por supuesto esto refleja una decisión pedagógica para proveer al estudiante de las herramientas matemáticas tan rápido como sea posible). Más aún, esta información es acumulativa, la que en cualquier momento puede ser utilizada y por ello no puede ser olvidada. Lo favorable para la memorización de estos conocimientos es que para ello sólo se requiere el sistemático desarrollo de ejercicios o problemas en los cuales se deban utilizar estos conocimientos y es por ello que el profesor debe proporcionar al alumno guías de ejercicio adecuadas que complementen los textos y que apunten a la internalización de los conceptos. El aprendizaje de estos conceptos matemáticos no sólo requiere para sus aplicaciones una gran cantidad de ejercicios, sino una diversidad de ellos.
El alumno. Uno de los agentes internos que provoca desmotivación y por ende desinterés por el aprendizaje de la matemática es el desconocimiento de lo que entrega esta disciplina al estudiarla sistemáticamente.
Para encontrar la solución a un problema matemático el estudiante debe hacer uso de su capacidad creativa, y el hecho de crear algo nuevo le produce una gran satisfacción. Esta satisfacción o agrado es análogo al sentimiento estético que la belleza provoca en el hombre. El hecho evidente es que hay “una multitud de experiencias estéticas que nada tienen de artísticas en cuanto se originan y se realizan en objetos reales o naturales que no son artísticos” (Cofré 1991:6). Este agrado lo debería inclinar favorablemente por el estudio de la matemática. Tal inclinación emocional debería ser incentivada, puesto que es uno de los procesos del dominio afectivo y por consiguiente uno de los “que tienen relaciones paralelas con los procesos del hemisferio derecho” (Salas et al. 1995:115).
La matemática como poderosa herramienta permite el estudio óptimo de otras disciplinas, v.g., la física y la economía, entre otras, como así también aprender a pensar eficientemente. Esto último involucra el uso apropiado de los diversos tipos de razonamientos y operaciones mentales, los que son procesos del dominio cognoscitivo y que “se relacionan directamente con los procesos del hemisferio izquierdo” (Salas et al. 1995:115).
De lo anterior se desprende que en el estudio de la matemática están siempre comprometidos los dos hemisferios cerebrales, uno, el derecho, favoreciendo lo afectivo y, el izquierdo, favoreciendo lo cognoscitivo. Es por esto último que es importante que el profesor de matemática dé a conocer este uso y al mismo tiempo entregue una buena cantidad de ejemplos que apunten a este hecho. Si tomamos en cuenta los argumentos planteados por Salas et al. (1995:116): “ambos hemisferios cumplen roles de igual importancia en el proceso de aprendizaje” y “un corolario importante para cualquier educador es que en su clase debe procurar que sus alumnos alcancen no sólo rendimientos cognoscitivos, sino también logros afectivos; en otras palabras, no sólo que sus alumnos aprendan, sino que disfruten aprendiendo”; podemos decir que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática favorece de manera significativa la educación holística.
Ahora bien, al conocer el alumno lo que le entrega la matemática, al influir positivamente en la educación holística o en el desarrollo de sus capacidades intelectuales, éste sabría que la matemática le está aportando un desarrollo intelectual integral, incrementándole su autoconfianza. Esta autoconfianza es la que debe tener cualquier persona para emprender con éxito cualquier empresa, lo que obviamente produce inmensos beneficios, de los cuales se puede destacar el mejor uso de la voluntad, sin la cual es imposible aquietarse para intentar resolver un problema. Por razones de extensión, sólo nos extenderemos en lo que se refiere a aprender a pensar eficientemente y fundamentalmente en lo relacionado con las operaciones mentales de abstracción e imaginación. Estas últimas son de gran importancia, sobre todo en lo tocante al aspecto semántico (significación) del lenguaje de la matemática. Es así como es conveniente que el alumno para que pueda acercarse con menor dificultad a la matemática conozca al menos o tenga una idea aproximada de la abstracción e imaginación y sepa hasta qué punto estas capacidades están desarrolladas en él. En relación a ello sería útil entregar algunas ideas básicas.
Abstracción y abstracto. Ferrater Mora (1972:17) dice al respecto: “abstraer significa literalmente ‘poner aparte’, ‘arrancar’. Lo abstraído es ‘lo puesto aparte’ y el acto de poner aparte es una abstracción.
Cuando el poner aparte es mental y no físico la abstracción es un modo de pensar mediante el cual separamos conceptualmente algo de algo”. Significación: Es una trilogía en la cual no pueden separarse completamente concepto, signo, símbolo y referente, entendiendo como tales: Referente: Es el objeto o cosa al cual se le desea nombrar. Símbolo: Es la palabra o signo con el que se señala el referente. Concepto: Es la idea que se tiene del referente.

Para ejemplificar cómo se interrelacionan los anteriores conceptos, observemos una silla. La imagen que tenemos de ella es el referente. La palabra “silla” es su símbolo. El concepto sería el de asiento con respaldo y generalmente sin brazos.
Para poder utilizar adecuadamente el esquema anterior es provechoso dar otras ideas al respecto. Parafraseando a Burton et al. (1965: 260 y 261), se pueden establecer cuatro grupos o niveles de abstracción no demasiado precisos, cuya identificación sirve para el uso y control de los términos abstractos:
Términos concretos: Palabras que designan cualidades experimentadas en forma inmediata, por ejemplo, dulce, duro, rojo, campana, perfume. Están relacionados directamente con los cinco sentidos.
Conceptos de clase: Términos o palabras mediante los cuales se puede referir a todos los miembros de una clase de cosas que poseen ciertas características comunes. Por ejemplo, alumno.
Abstracciones de alto nivel: Aquellas palabras cuyo significado está particularmente alejado del nivel concreto, v.g., infinito.
Conceptos de elaboración teórica: Son aquellos términos usados por los hombres de ciencia para hacer avanzar el pensamiento. Son conceptos hipotéticos. Un ejemplo de éstos es la palabra masa.
Imaginación. Por la naturaleza de este trabajo (no filosófico), se puede decir con respecto a la imaginación lo que se entiende comúnmente por ella. Es decir, se la puede considerar como el empleo de los sentidos sin usarlos realmente. Lo que no está lejos realmente de “imaginar como creer”, como es considerada por Ryle (1933), citado por Espinoza (1981:134 y ss.). Así por ejemplo, ver los objetos de nuestra casa habitación sin estar en ella. En general podemos imaginar todo el universo que nos rodea.
En relación a la imaginación, también se puede decir que ella se da de diversas maneras en individuos distintos y de distintas formas respecto de cada sentido, de acuerdo al grado de sensibilidad de cada persona; así tenemos: auditiva: el músico o la persona con aptitudes musicales, gustativa: el catador, olfativa: el elaborador de perfumes, táctil: el lector de escritura Braille y visual: la que todos poseemos en alguna medida y cuyo uso se nos ha enseñado desde niños, tanto en la educación formal como en la informal. Referente a ésta, un individuo puede imaginar el universo combinando realidad y creación (fantasía).
Y en particular, respecto de la imaginación visual, se puede decir que sin el uso de ella no se pueden utilizar en forma óptima los diagramas y dibujos que envuelvan conceptos, modelos matemáticos y la resolución de problemas se torna difícil. ‘The familiar saying “A picture is worth a thousand words” could he modified for mathematics to “A picture is worth a thousand numbers”’ (Bennett et al. 1996:108) (Lo que generalmente se dice “una imagen vale por cien palabras”, podría modificarse para la matemática por “una imagen vale por cien números”). “The use of diagrams and the teaching of mathematical connections are supported by NCTM’s1 curriculum and evaluation standard for school Mathematics which proposes that the algebra curriculum move away from an emphasis on conceptual understanding” (Bennett et al. 1996:111) (El uso de diagramas y la enseñanza de relaciones matemáticas son sustentadas por las normas de curriculum y evaluación del Consejo Nacional de Profesores de Matemática de E.U.A. para el alumnado de matemáticas, el cual propone que el curriculum de álgebra se mueva desde un énfasis en la comprensión conceptual). Volviendo al ejemplo de la silla, en el cual se usó el esquema , éste corresponde a una situación con referente concreto. En el supuesto de que se tenga un elemento abstracto, como la característica de éste es la de no poseer un referente, este caso no podría reflejarse mediante tal esquema.
Abstracción e imaginación en el lenguaje de la matemática. Poniendo énfasis en el objetivo de este ensayo, que dice que es necesario transformar las actitudes negativas del alumno en positivas, se propone una forma de hacerlo a través de uno de los primeros problemas con que el estudiante de matemática se encuentra. Este es el lenguaje simbólico, que debe ser presentado como un conocimiento fácil, en el cual la habilidad que él tenga para interpretarlo es absolutamente indispensable. “The literature in mathematics education suggest that students will exhibit a greater comprehension in mathematics when they possess the ability to read, write, and understand the mathematical language” (Maida 1995:472) (La literatura en educación matemática sugiere que los estudiantes puedan mostrar una gran comprensión en matemáticas cuando ellos posean la habilidad para leer, escribir y entender el lenguaje matemático). Para presentar esta problemática de una manera simple, se puede sugerir lo siguiente:
Considérense las siguientes oraciones del español, inglés (lenguajes maternos) y el de la matemática (lenguaje artificial y formal),
En la lectura de la primera oración, la interpretación es inmediata y el lector de acuerdo a su capacidad imaginativa se forma un cuadro mental con lo que describe la oración.
En la segunda, la mayoría de las personas que conocen algo de este lenguaje (no ingleses parlantes) no la interpretan de inmediato, sino más bien lo que hacen primeramente es una traducción, para luego interpretarla.
Con la última, sucede algo parecido a la segunda, pues el estudiante después de leerla y traducirla con dificultad, la interpreta, e incluso por su carácter de alta abstracción no intenta, como en los casos anteriores, un cuadro mental con lo que entendió.
La idea tras esta sugerencia es que el alumno entrene su capacidad imaginativa, la cual involucra en su proceso, entre otras cosas, su capacidad de concentración, formándose cuadros mentales que puedan responder a la situación. No sólo se entrenará dicha capacidad, sino que tendrá la posibilidad de desarrollar su creatividad y podrá abstraer situaciones problemáticas, que sin el uso de ésta son prácticamente imposibles de entenderlas, y por consiguiente más difícil aún de solucionarlas.
Intuición. Finalmente, parece conveniente hacer mención a la confusión que generalmente se da entre los conceptos de intuición, intuición matemática y talento matemático. Tal confusión incide negativamente en la generalidad de los alumnos que consciente o inconscientemente se consideran malos alumnos en matemáticas. Se infiere del ensayo “Funciones y estructuras del consciente y del inconsciente” de C.G. Jung (1934), reeditado en “Los complejos y el inconsciente” (Jung 1992:85-152), que la intuición no requiere información previa y no es privativa de ninguna disciplina del conocimiento, y tampoco se parcela por áreas de conocimiento. La intuición, “percepción espontánea de posibilidades vagas, es una función irracional” (Jung 1934, 1992:102).
Johnson reedita en la revista Mathematic Teacher (Johnson 1995:330-335) en una versión simplificada el artículo “On Learning Mathematics” (Bruner 1960:610-619), publicado en la misma revista, en el que, según Johnson, es un artículo que aún hoy mantiene vigencia. Dice Bruner “intuition, the class of non rigorous ways by wich mathematicians speed toward solution or cul-de-sacs” (intuición, caminos no rigurosos por donde avanzan rápidamente los matemáticos hacia una solución o hacia un callejón sin salida), y también “intuition implies the act of grasping the meaning or significance or structure of a problem without explicit reliance on the analytic apparatus of one’s craft. It is the intuitive mode that yields hypotheses quickly, that produces interesting combinations of ideas before their worth is known” (intuición implica el acto de captar el sentido o significado o estructura de un problema más allá de la confianza explícita en el sistema analítico de un oficio. Es el modo intuitivo en el que las hipótesis rinden rápidamente, produce interesantes combinaciones de ideas antes de que su idea sea conocida). Sobre lo anterior, de que aún mantiene vigencia, hay acuerdo, pero pareciera más conveniente decir que ello se refiere a un talento en particular: Talento Matemático.
En nuestro medio, también, aparte de lo antedicho, se habla de intuición matemática como de aquel proceso que nace de la sistemática resolución de problemas. Este concepto de intuición también se utiliza en otras disciplinas, por ejemplo se habla de la intuición de peligro que tiene un militar al desplazarse en un bosque, en el cual se supone existen enemigos dispuestos a eliminarlo. Esta intuición se obtiene, esencialmente, del gran entrenamiento previo que él tiene y que lo hace ver y oír en forma no consciente. A este tipo de intuición parece más conveniente llamarla “tincada” o “corazonada”. El alumno destacado en matemática (no necesariamente con talento, en el sentido dado anteriormente) al enfrentarse con un problema nuevo, debido a su gran entrenamiento en el desarrollo de problemas, tiene la tincada de cómo resolverlo, lo cual no es de un cien por ciento de efectividad, pero sí tiende a ese porcentaje.
CONCLUSIONES
Para que un estudiante quede convencido de que el estudio de la matemática es simple y de fácil acceso, es absolutamente necesario que él sepa lo que puede conseguir a través de ella y también que esté realmente convencido de que todo depende de él, pues para el estudio de esta disciplina se requieren, además de las capacidades de abstracción e imaginación, otras que también todos los hombres poseen, por ejemplo la capacidad de concentración. Esta última se puede utilizar óptimamente neutralizando los agentes externos e internos que la pueden afectar, siempre y cuando no sean de aquellos que perjudican la satisfacción de sus necesidades vitales, v.g., la sensación de hambre o, coligiendo de Doval y Santos (1995), simplemente a través del buen uso de estos agentes, ya sean del medio, del contexto o de su reflexión interior, o sea, como dicen Salas et al. (1995:116), tener una “educación confluyente”, es decir, una “educación que sea tanto afectiva como cognoscitiva”.
En el momento en que un estudiante se da cuenta que en el estudio de la matemática se requiere no sólo tener un buen modelo humano y mirar con buenos ojos el contexto, sino que también tomar conciencia de que en este estudio se necesitan razonamientos que todos los hombres poseen desarrollados en alguna medida (analogías ya sean por comparación o por discriminación, razonamientos por inducción, por deducción, análisis, síntesis, etc.), se le hará más fácil su estudio. En relación a esto último, es necesario indicar que el cerebro no es una máquina de calcular 3 y aquellos que lo pueden utilizar de esta manera, son casos particulares, pues tienen innata esta habilidad, así como otros tienen una gran memorización, es decir, se deben tomar en cuenta las diferencias individuales. El estudiante que no posee la capacidad innata de calcular no debería imitar a aquellos que disfrutan de ella, ya que al intentar hacerlo y no obtener resultados sólo gana una gran dosis de frustración, la que deriva en la incapacidad de resolver problemas. Esta flaqueza en el alumno es interpretada erróneamente, por una gran cantidad de personas, como falta de inteligencia.
Por último, es conveniente, entonces, tratar de establecer medios apropiados que convenzan al alumno que al menos existe la posibilidad cierta para él de llegar a obtener conductas, como la de intuición matemática o corazonadas, que le permitirán enfrentar con mayor éxito el aprendizaje de la matemática. En fin, convencerlo que él también puede tener tincadas o corazonadas que le permitan usar la expresión, al igual que los alumnos con talento matemático, “me tinca que la solución va por aquí”.
NOTAS
1 National Council of Teacher of Mathematics, U.S.A.
2 Todos los números naturales son mayores o iguales que el número uno.
3 Comunicación personal: Sergio Espinoza C., Psicólogo y Neurofisiólogo. Instituto de Fisiología, Universi-dad Austral de Chile, 1990, Valdivia.

Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias Instituto de Matemáticas Casilla 567, Valdivia, Chile

BIBLIOGRAFIA
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BURTON, W., KIMBALL, R. Y WING, R. (1965). Hacia un pensamiento eficaz. Bs. Aires: Ed. Troquel.
COFRE, J. (1991). Filosofía del arte y la literatura. Valdivia: Universidad Austral de Chile.
DOVAL, L. Y SANTOS, R. (1995). “De la educación holística a la pedagogía adaptativa”, Estudios Pedagógicos 21: 121-131.
ESPINOZA, M. (1981). Análisis de la imaginación. Valdivia: Dirección de Investigación, Vicerrectoría Académica, Universidad Austral de Chile.
FERRATER, J. (1972). Diccionario de filosofía abreviado. Bs. Aires: Ed. Sudamericana.
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JUNG, C. (1992). Los complejos y el inconsciente. Madrid: Alianza Editorial.
LONG, R. (1986). “Remarks on the history and philosophy of mathematics”, American Mathematics Monthly 93 38:609-619.
MAGER, R. (1971). Actitudes positivas en la enseñanza. Pax: México.
MAIDA, P. (1995). “Reading and note-taking prior to instruction”, Mathematics Teacher 88 6:470-472.
MUSLOW, G. Y PEREZ-BLASCO, J. (1994). “Madres e hijas: el legado intergeneracional”, Estudios Pedagógicos 20:27-33.
SALAS, R., JIMENEZ, C. Y ROJAS, G. (1995). “Hemisfericidad cerebral: implicaciones didácticas y paradidácticas”, Estudios Pedagógicos 21:105-117.



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Es mi particular creencia, que el universo está regido por fuerzas armoniosas, las cuales permiten que todo lo creado sea estable, duradero y equilibrado. Estas fuerzas permiten y a la vez gobiernan esta armonía plena. Mis sentidos se regocijan cuando observo el equilibrio tanto en la vida de las plantas y animales, como en las fuerzas que hacen posible la combinación equilibrada de los elementos naturales y también cuando observo aquel hombre, bueno, dotado de especiales atributos que le permiten moverse en el plano material y espiritual de una manera singular, enfrentando el bienestar y el dolor o amargura, dualidad existente en las sensaciones que cohabitan en el diario vivir de todo ser humano, con dosis de optimismo y positivismo. Si cualquiera se detuviera a reflexionar de una manera simple pero profunda en el actuar del ser humano, se daría cuenta fácilmente que el hombre posee libre albedrío, pero no libre voluntad. A este hombre, el que admiro, de especiales facultades, con su libre albedrío lo veo intentar experimentar al máximo el bienestar, pero una vez que lo hace, si es que lo logra, no la mantiene ni lo repite, a menos que las condiciones que se lo permitieron, se reencuentren con él, pues sabe ciertamente que al obtenerlo nuevamente, usando el arbitrio de su voluntad rompe el equilibrio y producto de ello sobreviene el caos; es él, que con sus manos limpias y guiadas por su corazón puro proyecta un accionar limpio en su entorno y está siempre al servicio de la humanidad, contribuyendo al perfeccionamiento de ella y no la conducirá jamás, conciente o inconscientemente, a su destrucción, con afanes egoístas, por decir lo menos. Él, aplica su voluntad sólo en el caso de tener sensaciones de dolor o amargura, pues es con ella que las racionaliza, dosificándolas, lo que le permite seguir siendo parte de la armonía plena. Al manejar adecuadamente esta dualidad, obtiene aquellas condiciones indispensables para llegar a conocer desde alturas tanto su propio equilibrio personal como el de la sociedad y también puede apreciar el de la naturaleza que le rodea y así lograr sentirse integrante pleno de un Universo que le entregará las Verdades y la Belleza que viven y perviven en Él.

En relación a la matemática, se puede decir que es la disciplina que,  o bien formula mediante su lenguaje riguroso y apropiado, el modelamiento de variadas situaciones reales o irreales,  ya sean éstas, leyes por medio de las cuales se rigen los fenómenos, donde éstas son capaces de describir series de fenómenos los que pueden ser comprobados por medio de la observación de los hechos y de la experimentación y sean capaces de predecir acontecimientos futuros o,  las que se corresponden con situaciones meramente ideales y que provienen del ejercicio del pensar, sin otro objetivo que el de tratar de obtener la falsedad o veracidad de conjeturas en relación a la estructuras que rigen el Universo, o también determinar aquellas que lleven a inconsistencias o a paradojas. Es decir la matemática acompaña desde siempre al hombre en su eterna búsqueda por la verdad.

Por otro lado, la poesía que también a acompañado al hombre desde los comienzos de la humanidad,  utiliza también un lenguaje riguroso y propio, pero simplemente para mostrar la belleza del Universo en que está circunscrito juntamente con sus circunstancias y no para describir situaciones reales o irreales, ni menos se interesa si ellas sean o no modelos de leyes que describan comportamientos de fenómenos de la naturaleza o del ejercicio del pensar y,  tampoco si ellas sean conjeturas verdaderas, falsas o se correspondan con paradojas o inconsistencias; muy por el contrario en la poesía pueden darse aquellas que sorprendentemente sean contradictorias, inconsistentes, pues éstas son las que precisamente más impresionan la sensibilidad del espíritu humano, razón de ser de la poesía.

Tanto en la matemática como en la poesía hay estructuras formales bien definidas que deben cautelarse. Si bien es cierto que en su aspecto sintáctico, ambas deben tener una lógica que les permita desarrollar su lenguaje simbólico, en lo semántico no hay una lógica para la poesía, pues ésta se mantiene en el ámbito de variadas interpretaciones que la hacen más rica en su contenido, a diferencia de la primera en que la interpretación es rígida, aunque ambas utilizan las analogías para su desarrollo. Analogías que llevan a imágenes y metáforas en la poesía que concatenadas o no, llevan a obtener un cuadro mental de lo que ella quiere transmitir y que en la matemática permiten deducir o resolver situaciones mediante ellas.  

HACIA UNA ASISTENCIALI DAD GENERAL

HOMBRE,  CIENCIA Y LEYES CIENTÍFICAS.

Una aproximación a las definiciones y comentarios acerca de los conceptos “Hombre”,  “Ciencia” y “Leyes científicas"  que entrega el Diccionario Filosófico (*)

i)                    Definiciones que se sirven de la confrontación entre el Hombre y Dios.

Éstas son de naturaleza religiosa o teológica, pero también pueden encontrarse en doctrinas que nada tienen que ver con lo religioso o lo teológico. Todas éstas se formulan a partir del dicho del Génesis : Díjose entonces Dios: hagamos al hombre a nuestra imagen y semejanza”. Una de las muchas conceptualizaciones que da Abagnano es la de Spinoza, que al respecto decía: “La esencia del hombre está constituida por ciertas modificaciones de los atributos de Dios”.

ii)                  Definiciones que expresan una característica o una capacidad que se considera propia del Hombre.

De éstas la más conocida es aquella según la cual el Hombre es animal racional.

También se considera en este tipo de definiciones aquella que define al Hombre en su naturaleza social: “El que no puede entrar a formar parte de una comunidad o el que no tiene necesidad de nada, bastándose a si mismo, y no es parte de una ciudad: o es una bestia o un Dios” (Aristóteles). En esta última, racionalidad y politicidad  están estrechamente ligadas.

El hombre tiene como una característica constante la de Homos-faber (Bergson).

iii)                Definiciones que expresan como propio o inherente del Hombre, su capacidad de autoproyectarse.

                        Al respecto el Diccionario Filosófico cita, entre otras, la concepción de Kant: “La razón en una criatura es el poder de extender, más allá de los límites naturales, las reglas y los fines del uso de todas sus actividades y no conoce límites a sus decisiones. Pero la razón no obra exclusivamente, sino que procede por tentativas, mediante el ejercicio y aprendiendo, para elevarse poco a poco y pasar de un grado de conocimiento a otro”. De lo anterior Abagnano deduce que Kant considera, que sólo a a través de la historia de la especie humana sobre la Tierra, puede el Hombre realizar su naturaleza, que es la libertad de autoproyectarse con su razón y especialmente de proyectar para sí una sociedad civil fundada por completo en el derecho.

2.      CIENCIA, su concepto. (*)

            Es un conocimiento que incluye, en cualquier modo o  medida, es una garantía de la propia validez. Lo opuesto de la Ciencia es la opinión, caracterizada precisamente por la falta de garantía acerca de su validez.

            Las diferentes concepciones de la Ciencia se pueden distinguir conforme con la garantía de validez que se les reconozca. Esta garantía puede consistir:

• -   En la demostración. Entre éstas se tiene el ideal clásico de la Ciencia, en el que ella garantiza la propia validez demostrando sus afirmaciones, o sea estructurándolas en un sistema o en un organismo unitario en el cual cada una de ellas sea necesaria y ninguna pueda ser dejada de lado, agregada o cambiada. Entre estas concepciones están la Aristotélica, en la cual, Ciencia es conocimiento demostrativo, la doctrina de Descartes, según la cual todo el saber humano está organizado sobre el modelo de la aritmética y de la geometría, la de Spinoza, que denominó Ciencia Intuitiva a la extensión del método geométrico a todo el Universo, extensión mediante la cual “este conocimiento procede desde la idea adecuada de la esencia formal de ciertos atributos de Dios hasta el conocimiento adecuado de la idea de las cosas”, la de Kant, según la cual “la unidad sistemática es, en primer lugar lo que hace de un conocimiento común una Ciencia, es decir, de un simple agregado hace un sistema”,  donde sistema, según él, se debía entender como “la unidad de múltiples conocimientos reunidos bajo una única idea y, la doctrina de Hegel, “la verdadera forma en que existe la verdad puede ser sólo su sistema científico”.

• -   El fundamento de la concepción descriptiva, es la distinción entre la anticipación e interpretación de la naturaleza; esta última consiste en conducir a los hombres frente a los hechos particulares y a sus órdenes”. Newton estableció esta concepción oponiendo el método del análisis al método de la síntesis, donde esta última consiste “en considerar que las causas han sido descubiertas, en colocarlas como principios y en explicar los fenómenos partiendo de tales principios, considerando como prueba esta explicación”. El análisis en cambio consiste en “hacer experimentos y observaciones, en obtener conclusiones generales por medio de la inducción y en no admitir en contra de las conclusiones objeciones que no resulten de los experimentos o de otras verdades ciertas. D’Lambert, excluyó de la física las conjeturas e hipótesis vagas, o por lo menos de concederles solamente lo que valen y someter esta Ciencia sólo a las experiencia  y a la Geometría. Al mismo tiempo declaró inútil el espíritu del sistema, tanto para la Ciencia como para la Filosofía al respecto decía “todas las ciencias reducidas, en lo posible a los hechos y a las consecuencias que de ellos se puedan deducir, nada conceden a las opiniones, excepto en el caso de no poder ser evitadas”.Braithwite en 1953 afirmó: “El concepto fundamental de la ciencia es el de la Ley Científica y la finalidad fundamental de la ciencia es el establecimiento de leyes”. Para comprender de que modo obra una Ciencia y de que modo suministra explicaciones de los hechos que investiga, es necesario comprender la naturaleza de las leyes científicas y el modo de establecerlas.

• -   Una tercera concepción es la que reconoce como única garantía de validez de la Ciencia, su Auto-corregibilidad. Al respecto Morris R. Cohen dice: “Podemos definir la Ciencia como un sistema auto-correctivo…La Ciencia invita a la duda. Si puede desarrollarse o progresar no es solamente porque sea fragmentaria, sino también porque ninguna proposición suya es, en si misma, absolutamente cierta y, así el proceso de corrección puede obrar para encontrar pruebas más adecuadas. Pero es necesario anotar que la duda y la corrección siempre están de acuerdo con los cánones del método científico y de tal manera, esta última es su nexo de continuidad”.

3. LEYES CIENTÍFICAS.

      Son aquellas por medio de las cuales se rigen los fenómenos y, deben ser tales que sean capaces de predecir acontecimientos futuros. Éstas deben estar basadas en métodos que se contraponen al azar y se usan dependiendo de las realidades, ya sean del macro o microcosmos, que se deseen conocer; éstos pueden ser:  Método Dialéctico, consistente en suprimir las contradicciones en el proceso de la naturaleza o de la historia,  y en los argumentos lógicos y en subsumirlos en totalidades;  con ello se niega la posibilidad de sustancias o principios independientes entre sí; método logístico. Método Logístico, que consiste básicamente  en afirmar  la existencia de principios (causas, leyes, signos, etc.) y en deducir a partir de ellos el resto. Y Método de Indagación, el cual usa una pluralidad de métodos, cada uno de ellos adecuados a su objeto, área o ciencia, con atención principal a los resultados obtenidos y al progreso del conocimiento.

Lionel Henriquez B.

Valdivia, Septiembre de 1988.

REFLEXIONANDO EN RELACIÓN A LA CRISIS ACTUAL DE LA EDUCACIÓN EN CHILE

Lanzamiento Antología "Poemas de mar a mar"

NOTICIAS UACH

El Informativo de la Universidad Austral de Chile

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UNA MUERTE ANUNCIADA

Una reivindicación familiar, en el contexto del "Pago de Chile". (A la memoria de mi padre).

Prólogo a un Libro de cuentos

El escritor colombiano Mario Ramón Mendoza M. ha publicado en los primeros días de enero de este año que recién comienza, en Barranquillas, Colombia, la segunda edición del libro de cuentos, "Misteriosas aventuras de Villanueva" de su autoría. Para esta edición me pidió se lo prologara, lo que hice con mucho agrado. Publico en ésta, mi página web dicho prólogo y a quienes se interesen en el libro y lo quieran adquirir o ponerse en contacto con el autor, les dejo su dirección electrónica: marioramonm@hotmail.com

PROLOGO A LA SEGUNDA EDICION


Mario Ramón Mendoza mi amigo en el ciberespacio, este nuevo mundo que acerca realidades a través de la virtualidad, me ha solicitado que escriba algunas palabras como prólogo a éste, su libro de cuentos “Misteriosas Aventuras de Villanueva”, a lo que he accedido con agrado, pues el mensaje mismo, los personajes, la ambientación y las acciones que en él ocurren y que Mario Ramón trasunta con una pluma que recoge toda una fértil imaginación y la plasma en su cuento, se relacionan con todo pueblo mestizo de esta Latinoamérica en que vivimos y nos desenvolvemos ya sean habitantes de America del Norte, Centroamérica o Sudamérica. Es importante destacar también, que en la atmósfera y ambientación del relato, referente a los planos físicos, sicológicos y sociales en que se desarrolla, se observan personajes y situaciones, los cuales podrían ser también de cualquier lugar de nuestra América o de mi propia tierra campesina a lo largo y ancho de Chile y que de algún modo pueden corresponder con los hábitos y costumbres de este mestizaje del que somos legítimos integrantes y hereditarios los de nuestra querida tierra americana. Y quizás por eso mismo al pensar en los cuentos y leyendas de mi tierra chilena, en particular aquellas que provienen de la Isla de Chiloé, por nombrar alguna región de mi país, que he leído y que ya son parte de mi acervo cultural, es por lo que me he incentivado a escribírselas.

Más que entrar mis pasos por el libro para entregar mis propias palabras acerca de él, cosa que no sería conveniente para el lector, que tienen seguramente una mejor visión del cuento que la mía, prefiero referirme a lo general y así al menos, tratar sólo de salir en la primera parte de su camino, como una forma de acompañarlo por unos instantes y así acercarlo para que camine con sus propios pasos por los doce capítulos que lo completan haciéndolo un todo.

Es precisamente adentrándose en el universo de este cuento, como se podrá apreciar que la realidad y la fantasía se confunden a través de un realismo mágico, que ocurre entre niños habitantes de Maracayo, un pueblo ubicado en la ciénaga de Betancí, de la oriunda Colombia del autor, y el sobrenatural indígena Villanueva, personaje que es traído a petición de ellos, por la bruja más vieja de la comarca, desde una especie de mundo de los espíritus a sus presencias, para que les relate con su propia voz las historias y leyendas de sus antepasados y al mismo tiempo poder disfrutar de su presencia, la que sólo a muy pocos niños elegidos de tiempo en tiempo se les ha dado a conocer.

El lector podrá disfrutar desde un principio la lectura de este cuento, que tiene un muy buen hilo conductor y en el que por momentos la prosa que usa su autor, se transforma en prosa poética. Prosa en que usa variadas imágenes, metáforas e incluso canciones y otros recursos propios de su estilo, no sólo en las maravillosas aventuras que se suceden con la llegada de este pequeño y moreno personaje indígena, sino además en las informaciones que este singular hombre entrega a los niños, de algunos acontecimientos ocurridos en la ciénaga de Betancí acerca de los ancestros de sus aldeanos. Estos últimos sucesos, incluso desligados de la variable tiempo, en el que siempre está presente un toque de magia, como son los casos, del como llega él a la aldea en una rosa de cristal, o como las que se dan, cuando un toro se transforma en un perro, ante la mirada incrédula de los adultos, pero no ante la de los niños que siempre observarán y sentirán lo que no pueden hacer los adultos o, también como aquella en que los niños visitan otro mundo llevados a él por este maravilloso Villanueva. Destacando de este último suceder, que es un mundo que lo habitan, entre otros, hormigas supersabias y de inmenso tamaño, viaje que acontece ante la mirada estupefacta de los adultos, quienes tienen la posibilidad de observar algunas situaciones, en ese mundo que visitan los niños, a través de los ojos de este encantador personaje y en en el que se acontecen pasajes llenos de mágica fantasía.

Fiel a mi propósito, el de entregar sólo algunas generalidades de mi caminar por el cuento, sólo me resta destacar algunos otros elementos que pueden ser de importancia para la lectura de un lector que le interese llevar su imaginación a una lectura no lineal del texto. Ella tiene que ver con la interpretación misma de él y que corresponde a la trasmisión de un mensaje simbólico que el autor consciente o inconscientemente hace desde su mente objetiva y también desde la subjetiva. La que por un lado se relacionan con un mensaje valórico y por otro el de llamar la atención del lector en cuanto a cuál o hasta dónde llega la verdadera realidad en la cultura heredada del mundo y en particular en la de los pueblos latinoamericanos, ambos mensajes humanos universales.


Valdivia, Diciembre de 2006


Lionel Henríquez Barrientos
Universidad Austral de Chile
Valdivia Chile.

viernes, noviembre 23, 2007

CRÓNICA DE UN INCENDIO

El 03 de diciembre del presente año, un incendio consumió completamente el edificio de la Facultad de Ciencias "Dr. Emilio Pugin". Todo lo material, tanto oficinas de los académicos, como laboratorios, de los Institutos de Física, Química, Química y Farmacia, Microbiología, Bioquímica, Zoología y Botánica fueron arrasados por el fuego. No sólo se perdieron los bienes de la Universidad, sino también todos los libros y materiales de trabajo de los colegas y también alumnos que en ese edificio trabajaban, llámense Informes de Investigación, Proyectos de Investigación concluidos y por concluir, Tesis de Grado de Magister y Doctorado, tanto escritos en papel como en la virtualidad de los ordenadores. Pero sobretodo se consumieron los recuerdos de más de 50 años, que permanecían en ese edificio y que en gran parte correspondían a académicos actualmente en ejercicio de sus disciplinas. Un hecho que realmente fue lamentable y que no sólo afectó a los que en la Universidad laboramos, sino que a toda la comunidad valdiviana, para la cual la Universidad Austral es realmente un símbolo, pues Valdivia es y será una ciudad universitaria. Ante este hecho he querido dejar una crónica de mi testimonio escrito en décimas para todos mis grandes amigos y colegas de La UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE.

CRÓNICA DE UN INCENDIO MALDITO (Décimas)

I.
Con los ojos muy perdidos
en los años de academia
y al borde de la blasfemia
con el llanto contenido
todos vimos sorprendidos
como la obra de una vida
en humo quedó perdida,
la Universidad entera
con Rector en cabecera
permaneció compungida.

II.
Me ha zapateado el buen mate
por tanto fuego dañino
se ha quemado hasta el pingüino
puesto en un escaparate,
¡Hay mi Dios qué disparate!
Ardió too el edificio
que guardaba beneficios
de las ciencias cultivadas
por mentes muy proyectadas
productos del buen oficio.

III.
Y que decir de los peces
que nadaban en vitrina
llenita de aguamarina
por ellos y muchas veces
lo llamaban sin dobleces
¡ahhh! “el de los pescaditos”
y que estaban a pasitos
de varios laboratorios
pa’ estudiantes meritorios
y en carreras circunscritos.

IV.
Mis amigos, el Biólogo
el Físico, el Químico
vecinos de un Bioquímico
entre otros muy homólogos
pa’ entro en un monólogo
comentaban sus recuerdos
que se iban sin un acuerdo
junto al fuego traicionero
y que jue muy duradero.
¡Lo bueno es que ellos son cuerdos!

V.
Costará una gran fortuna
levantar de nuevo el hogar
de la Ciencia muy singular
pero voces oportunas
de una muy buena tribuna
dicen que hay solidaridad
pa’ ayudar a la autoridad
a tener de nuevo al Doctor
Pugin en símbolo adjutor.

VI.
Pa la Universidad Austral
que es de toos los valdivianos
de Los Ríos ciudadanos
nada puede ser anormal
pues Ciencias es buen capital
por ello deberá construir
y nadie lo podrá discutir
quedando de testimonio
ese muy buen patrimonio
Edificio pa’l porvenir.

VII.
A mis amigos les dejo
con décimas, éste mi escrito
en el que poco he descrito,
por aceptar buen consejo,
a quienes dejó perplejos
con nombres y apellidos
pues no tendría sentido
son tantos que yo no podría
aunque tenga una maestría,
¡quedarían confundidos!.

©Lionel
Lionel Henríquez B.
Valdivia, Diciembre de 2007

LÓGICA MATEMÁTICA y TEORÍA DE CONJUNTOS ELEMENTALES

Es de mi interés publicar un ensayo escrito el año 1980 acerca de Lógica Lúdica (Juegos en Lógica y Teoría de Conjuntos), pero para ello es oportuno introducir de la manera más simple y sucinta posible los elementos y contenidos suficientes para que un lector no especializado tanto en Lógica Simbólica como en Matemática, lo pueda leer y comprender con la menor dificultad . Posterior a ese escrito publicaré otro acerca del encuentro que pienso se da entre Matemática y Poesía y que me llevó a cultivar esta última, lo que se dio fundamentalmente por mi cercanía con la Lógica Matemática.

I. NOCIONES SOBRE LÓGICA

Intuitivamente se entenderá por una proposición, una oración declarativa, la que puede ser clasificada como verdadera o falsa (las oraciones gramaticales pueden ser declarativas, imperativas, interrogativas y exclamativas; sólo a las primeras se les puede asignar un valor de verdad: verdadera o falsa). Ejemplos de estas oraciones son, hoy llueve, x = 2, (oraciones que se estudian en el Cálculo Proposicional), Algún hombre es inmortal, Todos los hombres son mortales (Oraciones del Cálculo de Predicado), etc.

Lenguajes Formalizados.

Todas las disciplinas del conocimiento usan un lenguaje artificial para su estudio y desarrollo. Las matemáticas además de tener un lenguaje propio, adopta el de la lógica formal. El lenguaje mismo de las matemáticas es de todos conocidos (el de la aritmética y del álgebra) al menos, hasta donde se ha estudiado en la enseñanza media. Por otro lado, también la lógica al igual que cualquier disciplina del conocimiento, necesita de un lenguaje formal con reglas de formación precisas con las que se pueden construir proposiciones y a partir de éstas construir nuevas y que además con ellas también se puedan trasladar oraciones desde y hacia el español.

1. CÁLCULO PROPOSICIONAL

Lenguaje del Cálculo Proposicional.

Supongamos que tenemos dado un número infinito de objetos a los cuales denominaremos símbolos y a cada uno de éstos les daremos nombres, los que clasificaremos:

Símbolos Lógicos: Símbolos que permiten construir nuevas oraciones a partir de oraciones dadas. Éstos en la transcripción desde y hacia el español juegan siempre el mismo rol. Los cinco últimos se denominan conectivos:

( : Paréntesis izquierdo
) : Paréntesis derecho
~ : símbolo de negación
Λ : símbolo de conjunción
v : símbolo de disyunción
→: símbolo condicional (se interpreta también como "implica" o como "la condición necesaria")
↔ : símbolo bicondicional o de equivalencia (se interpreta también como "si y solo si" o como "la condición necesaria y suficiente")

Símbolos Oracionales: Se designan por letras minúsculas tales como p, q, r, s, ... o por letras mayúsculas P,Q,R,S,...(éstas letras también pueden llevar subíndices tales como A1,A2, A3, ... , An, ...), o por letras minúsculas del alfabeto griego α, β,γ,δ,ε, etc. Éstos símbolos oracionales son llamados parámetros, ya que su transcripción no es fija, por ejemplo, la proposición "A1" puede significar "Ana es bonita", como también, entre muchas otras, podría ser "el día está nublado".

1.1.2 Expresiones: Una expresión es una sucesión infinita de símbolos y se forman con la concatenación de ellos.

Ejemplos:

→A1 ↔ A 2,

A1 Λ (A 2 →A3)

Se designaran indistintamente por las letras griegas α, β,γ,δ,ε,... , o por letras del alfabeto español, las que podrán ser mayúsculas o minúsculas, con o sin subíndices.

Expresiones bien formadas (e.b.f.).

Definición.

(i) Cada símbolo oracional es una e.b.f.
(ii) Si α y β son e.b.f, entonces lo son (~α), (α v β), (α Λ β), (α → β),(α ↔ β).
(iii) Ninguna expresión es e.b.f. , si no satisface (i) y (ii).

Ejemplo: Juan tiene dinero, entonces va al cine: (α → β), donde podemos interpretar "Juan tiene dinero" como "α" y "va al cine" como "β".

Puesto que una e.b.f. puede representar una oración declarativa (la que está escrita en un lenguaje simbólico), podemos dar una regla que nos permita decir cuando ella es verdadera (V) o falsa (F):

Tabla 1.

Nota: V y F se denominan valores de verdad.

De la tabla de doble entrada, en su tercera línea o fila se desprende por ejemplo que (α → β) es falsa si y solo si α tiene el valor de verdad V y β tiene el valor de verdad F (ver la intersección de la tercera fila con la cuarta columna).

Tautologías: Una oración es una tautología, si es verdadera para cualquier valor de verdad que se le asigne a sus símbolos oracionales componentes.

Contradicción: Una oración es contradictoria, si ésta es falsa para cualquier valor de verdad que se le asigne a sus símbolos oracionales componentes.

Observaciones:
1. Se dice que una oración α implica tautológicamente una oración β si y sólo si la oración condicional (α → β) es una tautología, donde "α" se llama el antecedente y "β" el consecuente.

Ejemplos:

i. A→(AVB)
ii. A→((AΛB)VA)
iii. ~A →(A→A)
iv. p→p
v. q→(qΛq)

2. Dos oraciones "α" y "β" son equivalentes si y sólo si se implican tautológicamente en forma mutua, es decir si y sólo si (α → β) y ( β→ α) son ambas tautologías, lo que se anota como (α ↔ β).
Ejemplos:

i. (A↔ A)
ii) ((A→B) ↔ (B→A))

3. Los paréntesis se usan de un modo natural, que resulta familiar del álgebra elemental, para indicar cual es el conectivo dominante. Si se adopta una convención con respecto de la dominancia relativa de los diversos conectivos, se obtendrá una considerable reducción de los paréntesis usados en la práctica. La convención más conveniente es aquella en que los conectivos "→", " ↔ ", dominan a "V" y a "Λ", de este modo puede escribirse p→(qΛs), como p→qΛs.

4. Puesto que cada símbolo oracional puede tomar dos valores (V o F ), el número de combinaciones de una e.b.f. que contenga n símbolos oracionales será de 2^n (dos elevado a la potencia n de dos). Así por ejemplo si la e.b.f. tiene tres símbolos oracionales, se tendrán 2^3 combinaciones, es decir 8 (2^3 = 8 ), éstas son:

Tabla 2.

5. La negación de una e.b.f. deberá estar encerrada entre paréntesis, a menos que no produzca confusión, así por ejemplo:

Dada la oración, “Es falso que Juan y María se amen”, si hacemos:

Juan ama a María: p
María ama a Juan: q

Tenemos que su transcripción será ~( p Λ q )

Hay Varios procedimientos sistemáticos que nos ilustran cuando una expresión bien formada es o no una tautología, de ellos sólo se expondrá uno y se hará a través de un ejemplo.

Ejemplo: Se demostrará que p V q → p no es una tautología, cuando p y q son símbolos oracionales distintos.

Se necesitarán 2^2 = 4 líneas o filas para escribir los valores de verdad V o F, aparte de aquella en que se pondrán las oraciones p, q, p V q , p V q → p .

Así se tendrá la siguiente tabla:

Tabla 3.








En esta tabla se obtiene la tercera columna deduciéndola de las dos primeras mediante el uso de la tabla de disyunción (α v β incluida en la quinta columna de la tabla 1) y la columna final se deduce de las columnas primera y tercera aplicando la regla del condicional o implicación, incluida en la séptima columna también de la tabla 1.

Puesto que en la tercera línea de la cuarta columna aparece la letra “F” que corresponde al valor falso, se concluye que la oración “p V q → p” no es tautología, pues esta tercera línea demuestra que si “p”es falsa y “q” es verdadera, entonces “p V q → p” es falsa.

Acá es bueno destacar que una e.b.f. es una tautología sí y solo sí todas las anotaciones de la columna final son "V" (verdadera). Basta con que aparezca una sola vez la letra "F" para garantizar que la e.b.f. que se analiza no es una tautología (en caso que todas sean "V", sí es una tautología). Este método se llama Tablas de Verdad Derivadas.

Algunas tautologías importantes y de uso frecuente en la Matemática son:

i) ~(~p) ↔ p (Principio de doble negación).
ii) p V ~p (Principio del tercer excluido).
iii) ~(p → q) ↔ (p Λ ~q) (Negación de una condición necesaria)
iv) ~(p Λ ~q) ↔ (p → q) (Principio de Reducción al absurdo).
v) (~ q → ~p) ↔ (p → q) (Principio o ley de la contrapositiva).

Observación: Un ejercicio interesante para el lector, es verificar los principios anteriores usando las Tablas de Verdad Derivadas.

2. CÁLCULO ELEMENTAL DE PREDICADOS (LENGUAJES DE PRIMER ORDEN)

Si se tiene en el lenguaje materno, en este caso el español, oraciones como "Sócrates es mortal", éstas se pueden formalizar como Hs, donde H es un símbolo de predicado que transcribe la propiedad de ser hombre y s a Sócrates. Es obvio que este tipo de oraciones no se analizaron anteriormente, ya que este tipo forma parte de los lenguajes de primer orden.

Se supondrá de aquí en adelante que se tienen infinitos objetos, los que se llamarán símbolos y que se clasificarán como sigue:

Símbolos Lógicos

i) Paréntesis : ( , ) Izquierdo y derecho
ii) Conectivos oracionales : ~, V, Λ , →, ↔
iii) Variables, con o sin subíndices : t, u, v, w, w, x, y, z
iv) Símbolo de igualdad : =

Nota: Las variables son simplemente letras del alfabeto que se utilizan para facilitar la expresión de generalización.

Parámetros

i) Símbolos de cuantificadores : " (cuantificador universal)
: $ (cuantificador existencial)
ii) Símbolos de predicado : Un conjunto de símbolos llamados símbolos de predicado n-arios A, B, C, ... (con o sin subíndices) .
iii) Símbolos de constantes : a, b , c, ...s

iv) Símbolos de funciones n-arias : f_{1 ,} f_2, f_{3, … ,} f_n

Nota: ?

De aquí en adelante se supondrá que hay un universo del discurso, que informalmente se entenderá como el conjunto en el que están todos los objetos a los que hace referencia una oración en particular.

Gramaticalmente un predicado es la palabra o palabras en una oración o cláusula que expresa lo que se dice del sujeto. En lógica se confiere a los predicados una función más amplia que en el uso común; por ejemplo,
todo hombre es un animal,

se transcribe como:

"x ( Hx → Ax )

donde "x" son los objetos o individuos del universo del discurso, "H" es la cualidad de ser hombre y "A" la de ser animal.

Nota: Usando el párrafo anterior, una interpretación, muy formal, de la oración anterior (*), desde el lenguaje simbólico al lenguaje materno sería: "Todos los individuos que son son hombres, son animales", lo que no sería una buena manera de expresión en español, pero gracias a la riqueza del lenguaje , una mejor interpretación debería ser "Todos los hombres son mortales".

Ejemplos de transcripciones del español al Lenguaje de 1er Orden:

1. "Es falso que exista el conjunto de todos los conjuntos".

Acá es conveniente decir que todos los elementos u objetos, o individuos a que se hace mención en la oración dada son conjuntos.

Como primera aproximación transcribimos "es falso" con el símbolo lógico "~", dejando el resto de la oración entre paréntesis:

~(existe el conjunto de todos los conjuntos)

Si transcribimos la palabra conjunto por la letra "x" (variable), quedaría en la segunda aproximación:

~ $x ( cada conjunto es elemento de x )

La que se lee casi textualmente "Es falso que exista un conjunto tal que cada conjunto es elemento de este conjunto"

Finalmente , se transcribe "todo conjunto" con el cuantificador universal acompañado de la variable "y", que también corresponde a "conjunto" y,

dejando ligadas estas dos variables por el símbolo matemático de pertenencia "є" como, "y є x",

para que integradamente quede como:

~ $ x ( " y ( y є x ) )

oración que debiera leerse como : "Es falso que exista un conjunto que tenga la propiedad de pertenecer a él".

2. Algunas manzanas son ácidas.

$x ( Mx Λ Ax ) ;

M : Manzanas, A : Ácidas

3. Todas las manzanas son sabrosas.

"x( Mx → Sx) ;

M : Manzanas, S: Sabrosas

Ejemplos de oraciones en Lenguaje de 1er Orden que son verdaderas o falsas.

1. " n ( n є IN → n + 4 > 3) ; Es Verdadera. Si se reemplaza n por cualquier número natural en "n + 4", resulta un número también natural y mayor que 3.
IN : números naturales : 1, 2, 3, 4, . . . ; > : mayor que.

2. " n ( n є IN → n > 5) ; Falsa. Basta tomar n = 3 ( 3 no es mayor que 5 ).
IN : números naturales : 1, 2, 3, 4, . . . ; > : mayor que.

3. $n ( n є IN Λ n + 4 <7) Verdadero. Existe n, n = 2 tal que 2+4 = 6 <7 . IN : números naturales. < : menor que.

4. $n ( n є IN Λ n + 6 <4) Falsa. No existe tal n. IN : números naturales. < : menor que.

Negación de oraciones

i) ~( " x ( Mx ) ) ↔ ($ x ( ~ Mx ) ).

Ejemplo.

Si en una de las tantas posibilidades, se interpreta el universo del discurso como el conjunto de todas las frutas y el predicado "M" como la propiedad que tienen los objetos de ese universo de "ser manzanas", entonces, ~($x (Mx ) ) se interpretará como la negación de la oración "Todas las frutas son manzanas", o también "Es falso que todas las frutas son manzanas". Luego, usando (i), la negación de la oración dada, usando el cuantificador existencial, será "Existe una fruta que no es manzana", lo que simbólicamente y de acuerdo a la interpretación dada es , ($x ( ~ Mx ) ).

Recíprocamente, si la oración dada es "Existe una fruta que no es manzana", por la equivalencia lógica dada en (i), se podrá decir equivalentemente, "Es falso que todas las frutas son manzanas".

ii) ~ ($ x ( Px ) ) ↔ ( ~ ( "x Px ) )

Ejemplo.

Si nuevamente escogemos el universo del discurso como el conjunto de todas las frutas, entonces ~($ x ( Mx ) ) se interpretará como la negación de la oración "Existe una fruta que es manzana", o también como, "Es falso que exista una fruta que es manzana". Por tanto y de acuerdo a (ii), su negación, usando el cuantificador universal es "Todas las frutas no son manzanas", o "Es falso que existe una fruta que es manzana", oración que simbólicamente y de acuerdo a la interpretación dada se escribe
como ( "x (~Mx ) ).

Recíprocamente, si la oración dada es "Todas las frutas no son manzanas", por la equivalencia lógica dada en (ii), se podrá decir equivalentemente, "Es falso que exista una fruta que es manzana"

CONTRAEJEMPLOS

Del párrafo anterior ya se sabe que negar una oración que está cuantificada universalmente es equivalente a negar el predicado, pero éste debe quedar cuantificado existencialmente, es decir, ~ ("x Px ) es equivalente a $ x(~Px ), o sea que decir que la oración universal es falsa es equivalente a decir que la oración existencial es verdadera para la negación de su predicado y recíprocamente. Por lo anterior, para probar que una oración universal es falsa, basta demostrar que la existencial es verdadera y, para ello es suficiente encontrar un ejemplo para esta última que la haga verdadera para este ejemplo.

El caso encontrado se llama el contraejemplo al enunciado universal. Así por ejemplo, si se tiene la oración "Todas las rosas son rojas", basta con encontrar una rosa de otro color, por ejemplo, blanca.

Así el contraejemplo a la oración dada es "una rosa blanca", probándose con ello que la oración universal es falsa.

Observación: Demostrar que una oración universal es verdadera requiere de un estudio más profundo y con mucho mayor detenimiento formal, lo que escapa al objetivo de este escrito que ha tratado de ser lo más simple posible, dentro de la medida de lo posible.

II. NOCIONES SOBRE CONJUNTOS.

Conjunto es un concepto primitivo y por consiguiente no se definirá. Intuitivamente se entenderá por conjunto cualquier tipo de entidades de cualquier clase y se representarán simbólicamente por cualquier letra del alfabeto español o griego, mayúscula o minúscula, con o sin subíndice (en este escrito se usarán letras mayúsculas del alfabeto español). Por ejemplo, el conjunto de todos los americanos, el conjunto de todos los números enteros. Sinónimos de conjuntos son, clase, colección.

Otros conceptos primitivos incluidos en estas nociones sobre conjuntos, son elemento o individuo y pertenencia; en relación a ellos se dirá que los elementos de un conjunto pertenecen a dicho conjunto y se usará el símbolo "є" para simbolizar que un elemento pertenece a él; así, si se tiene la oración "El perro pertenece al conjunto de todos los mamíferos", se escribirá,

"El perro є al conjunto de todos los mamíferos"

y si se simboliza

"perro" por "p"

y "mamíferos" por "M",

se anotará la oración de manera simbólica como

" p є M".

Si un elemento no pertenece al conjunto se anotará como,

Ï

Por otra lado, todos los elementos de un conjunto dado se anotarán entre paréntesis de llaves "{ , }", separados por comas si es que todos ellos están explícitos y son más de un individuo, ejemplo de esto último,

A = { gato, león, puma}" .

Principio de Extensionalidad.

Un conjunto queda completamente determinado cuando se dan explícitamente sus elementos, es decir si A y B son conjuntos que tienen los mismos individuos, entonces A = B y recíprocamente si A = B, entonces A y B tienen los mismos elementos. Así por ejemplo, el conjunto de los triángulos equiláteros es igual al conjunto de los tíángulos equiángulos.

Simbólicamente el Principio de Extensionalidad se escribe como,

A = B ↔ " x ( x є A ↔ x є B )

Conjunto Vacío.

A veces resulta cómodo hablar de un conjunto cuando no se sabe si este conjunto tiene elementos, por ejemplo, un especialista en genética puede desear hablar sobre el conjunto de mujeres cuyos padres, hermanos y esposos son todos hemofílicos, aún cuando no se sepa de un sólo caso de mujeres como aquellas. así es conveniente dar al término "Conjunto" un significado suficientemente amplio para que incluya conjuntos vacíos, esto es, conjuntos que carecen de individuos.

Observación. El Conjunto Vacío es único, es decir hay un sólo conjunto vacío; por eso se habla del "conjunto vacío", el cual se simboliza por Φ, y es tal que,

"x ( ~ ( x є Φ ) ) ó "x ( x Ï Φ )

Nótese que:

i) A є A es generalmente falso, por ejemplo basta tomar A = { 1 }, pues es obvio que "1є A" , pero { 1 } Ï A ,

puesto que para que { 1 } fuera elemento de A, debería darse que A = {{ 1 }}.

ii) A є B no implica que B є A . Para ello basta con observar que es obvio que A є { A , B } , pero también es obvio que { A , B } no es un elemento de A

iii) A є B Λ A є B no implica que A є B. Ejemplo de ello es, A є { A } є {{ A }} , pero A Ï {{ A }} , pues este último conjunto tiene como único elemento a { A }.

iv) A = { a, b } → " x ( x є {a , b } ↔ x є a v x = b ) ;↔

" x ( x є {a , b , c } ↔ x є a v x = b v x = c ) .

Hay una estrecha relación en decir que algo tiene una propiedad y decir que pertenece a un conjunto.

Una cosa tiene una propiedad si y solo si pertenece al conjunto de cosas que tienen la propiedad; así por ejemplo, "6 tiene la propiedad de ser un número par", equivale a decir que "6 pertenece al conjunto de los números pares"; simbólicamente en el lenguaje de la Teoría de Conjuntos (es un Lenguaje de Primer Orden), la oración anterior se escribiría como,

6 є {x є IN : P(x) },

donde "6" es una constante de la Teoría de Conjuntos,

"є" es un predicado binario,

"P(x)" es el predicado unario " ser par ";

"{ , }" son paréntesis que denotan "conjunto formado por",

los dos puntos " : " es un símbolo que expresa las palabras "tal que"

y " x " es una variable en la Teoría de Conjuntos.

Nota: Generalmente, un lector o estudiante inicial de Matemática tiende a leer textualmente "6 є {x є IN : P(x) }" como: "seis pertenece al conjunto de los x que pertenecen a IN, tal que P(x)", lo que no estaría mal formalmente, pero no tendría mucho sentido, pues lo que se requiere es una interpretación de la expresión dada. Es decir no hay uso de los referentes de la Teoría de Conjuntos (referentes matemáticos) involucrados en ella, que requieren del uso de la imaginación para su interpretación. Ello es como, si del lenguaje inglés un hispano (lenguaje materno) lea textualmente "The car is black" como "de car is blak" (usando la aproximación fonética "the" como "de"), sin efectuar un cuadro mental de lo que se lee. Se puede afirmar, que el hacerlo textualmente, sin usar interpretaciones es lo que provoca mayor confusión a la hora de entender o comprender la Matemática, provocando con ello un alejamiento prematuro de la disciplina.

Observación: Acá también, P(x) puede interpretarse como la propiedad que tiene la variable " x " , que es la de "ser número par"

Inclusión.

Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de A es elemento de B, entonces se dirá que "A es un subconjunto de B" o que "A está incluido en B" o también que "B incluye a A como conjunto".

Lo anterior se anotará simbólicamente por,

A Í B ↔ " x ( x є A ↔ x є B )

De lo anterior se puede observar que,

i) A Í A , para cualquier conjunto A

ii) A Í B Λ A Í B → A Í C , para cualquiera que sean los conjuntos A , B y C .

Si A Í B y A ≠ B , entonces se dice que A está incluido propiamente en B, lo que se anota

como " Ì "

Simbólicamente se escribe:

A Ì B ↔ A Í B Ù A ≠ B

Nótese que:

1. El conjunto vacío Φ es tal que " A( Φ Ë A).

En efecto, para cualquier conjunto A, " x ( x Î Φ → x Î A), es verdadera, ya que, por la lógica proposicional, cualquier proposición que se derive de una que es falsa, hace a la oración completa verdadera y en este caso x Î Φ es falsa, pues el conjunto vacío carece de elementos.

Luego necesariamente Φ Í A.

2. Si B Ë Φ, entonces B = Φ

3. Si el conjunto A no está incluido en el conjunto B, anotaremos "A Ë B "

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Definición. Sean A y B conjuntos, se define.

i) La Unión de los conjuntos A y B, como el conjunto:

A È B = {x : x є A Ú x є B}

ii) La Intersección de los conjuntos A y B, como el conjunto:

A Ç B = {x : x є A Ù x є B}

iii) La Diferencia de los conjuntos A y B, como el conjunto:

A - B = {x : x є A Ù x Ï B}

Ejemplos:

Considerese los conjuntos

IN = { 1, 2, 3 , 4,. . . } (Números naturales)

P = { x є IN : x = 2n } = { 2, 4, 6, . . . } (Números naturales pares)

A = { 2, 4, 6 , 8 }

B = { 3, 4, 6 , 9 }

Entonces:

A È B = {x : x є A Ú x є B} = { 2, 3, 4, 6 , 8, 9 }. La Unión o Reunión es el conjunto de los elementos que están en A o en B (la disyunción lógica hace referencia a los elementos que estan en A o en el conjunto B).

A Ç B = {x : x є A Ù x є B} = { 4, 6 }. La Intersección es el conjunto de los elementos que están en A y en B (la conjunción lógica hace referencia a los elementos que estan en el conjunto A y en el conjunto B ).

A - B = {x : x є A Ù x Ï B} = { 2 , 8}. La Diferencia es el conjunto de los elementos que están en A pero no en B .

NI È P = IN . Todos los elementos de P están en NI, pues todo número par es número natural.

NI Ç P = P (Los elementos que están al mismo tiempo en ambos conjuntos, son los números pares.

IN - P = { 1, 3 , 5, 7. . . } = { x є IN : x = 2n + 1} . Números naturales impares.

P - IN = Φ .

Nota: En general existe la diferencia de conjuntos A - B, modernamente escrito A \ B, debido a que A - B normalmente se interpreta como todas las diferencias posibles entre los elementos de A y los elementos de B, que claramente es otro conjunto. Sin embargo, cuando A y B no son comparables, tenemos la igualdad A \ B = A \ (A Ç B), lo que se ve más razonable porque restamos de A un subconjunto de A. En el ejemplo P - IN = P - (P Ç IN) = P - P = Φ

 

 

 

CONTINÚA...

ACERCA DE UN POEMA. Una reflexión muy personal.

En relación al contenido de un poema, el autor debiera abrir el texto y continuarlo con la máxima certeza, como poeta que es, que la poesía debiera ser como un licor que embriague al lector y embruje sus sentidos. Que a través de las palabras con las que lo conforma y usando los recursos poéticos a su alcance, ya sean éstas imágenes, metáforas, analogías por comparaciones o discriminaciones, personificaciones, etc., debieran incitar, provocar el intelecto y el corazón de quien le lee, a usar su razón y su imaginación, su sensibilidad en la búsqueda de alguna interpretación de las tantas posibles que lo lleven a un entendimiento del texto que puede o no coincidir con el mensaje que él está entregando. Así de esta manera, el lector pueda quedar en su contemplación, en un estado de gran sensibilidad para absorber con intensidad e intemporalidad, en un estado de sosiego, la conmoción de sus sentidos y sentimientos, en que el asombro, en el que puede estar presente la duda frente a lo expresado con luminosidad, equilibrio, orden, armonía, medida, proporción entre otras tantas características, con que conforma el poema y que va más allá de su ser y también de lo que pueda ser útil y que tiene dicho en el texto, lo lleve, a un estado de placer estético, al que yo llamo autoencantamiento. Por otro lado también inducir en éste, una especie de vértigo, al adecuar el texto con el ritmo y la melodía de las palabras precisas, y que por ello junto a todo lo anterior, lo haga llegar a una actitud de reverencia hacia la poesía, dejándolo en un estado de exaltación frente a un mensaje que él como creador ha querido y deseado entregar, y que puede tratar, de asuntos mundanos o divinos, acerca de algunos conocimientos de su vida que durante algún tiempo ha incubado y que lo ha mantenido en la oscuridad de su inconsciente, pero también como una reafirmación a aquello que siempre ha sabido. Estos mensajes que pueden ser acerca de su entorno social o político, acerca de sus emociones, del paisaje que la rodea, acerca de misterios de la vida, en fin, con certezas de vida, con las cuales se puede llegar mediante nuevos caminos a otros horizontes, teniendo el cuidado necesario para cerrar o dejar abierto adecuadamente el texto, con lo que hará de éste un completo contenido a entregar y que debiera estar engarzado con el título, haciendo que nada falte ni nada sobre en el texto poético que está entregando con belleza. Finalmente, el texto debiera tener la fuerza que le imprime la emoción contenida en su autor la que debe trasuntar con la mayor fidelidad posible que le da su talento poético, con ritmos, melodía, con imágenes que busquen provocar no sólo la interpretación del poema, sino también inducir recuerdos en quienes como él puedan haber vivido situaciones similares y si no ese el caso para que éste internalice el mensaje como una referencia de vida que le está entregando él como poeta a través de su poema.

Lionel Henriquez B.
Valdivia, Octubre de 2008

ACERCA DE PLUMAS PROPOSITIVAS

NOTICIAS DE LA DIRECCIÓN DE EXTENSIÓN DE LA UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE 25 de Noviembre de 2008

Estudiantes UACh Publicarán Antología Poética en Editorial Mexicana

* El Taller de Literatura dirigido por el Prof. Lionel Henríquez publicará la antología "Verbos en Aguaviento".

Lionel Henríquez no evita referir a Karl Wiertrass cada vez que habla de poesía, "el matemático que no tiene algo de poeta no es realmente un matemático", cita, y con ese espíritu, ejerce docencia desde ambas aristas.
El Profesor del Instituto de Matemáticas de la Universidad Austral de Chile, y poeta, dirigió durante todo este año el Taller de Literatura de los Talleres Expresivos para estudiantes de la Dirección de Extensión y la Dirección de Asuntos Estudiantiles de la Corporación.
Fruto de ello, surgió un creativo grupo literario que tomó identidad propia bajo el nombre de Colectivo ContraMarea, y que con el apoyo del Prof. Henríquez y su bagaje editorial, realizarán la publicación de la antología poética "Verbos en Aguaviento". Haikú, décimas, soneto, verso libre, prosa poética, epístola, ensayo y antipoesía, fueron los tópicos en que los estudiantes trabajaron durante el año, y universo del cual seleccionaron los mejores resultados en base a la crítica e interpretación, que también fue parte del aprendizaje del taller.
El heterogéneo grupo de antologados está conformado por Gabriela Montecinos, de Derecho, José Morales, de Pedagogía en Historia y Ciencias Sociales, Mauricio Seguel, de Medicina Veterinaria, y Camila Muñoz, de Antropología. A ellos se suma el ex alumno UACh, José Mancilla.
La particularidad de esta publicación - a estrenarse en enero de 2009- es que será editada por el destacado poeta mexicano Arnulfo Vigil Jimenez, Premio Nacional de Poesía los años 2000 y 2007. Vigil, editor de las publicaciones del Prof. Henríquez, es además filósofo y periodista, y Director de la editorial Oficio Ediciones, la que hace 18 años publica de forma ininterrumpida la Revista Oficio, un referente de la actividad cultural mexicana.
Al respecto, el Prof. Henríquez señala "esta antología será editada en México por un doble propósito, tanto de proyectar la dimensión poética de los estudiantes de nuestra Universidad en el extranjero, como el de especialmente dar una tribuna más amplia a las voces profundas de un grupo de universitarios que han elegido la poesía como su manera de manifestarla y dejarla como ejemplo para las nuevas generaciones de estudiantes de la Universidad Austral de Chile".
Cabe destacar el apoyo de diversas instancias universitarias para la publicación de esta antología, tanto de Rectoría, Dirección de Extensión, Dirección de Asuntos Estudiantiles, y las Facultades de la UACh.
Vigil en ChileEl Premio Nacional de Poesía de México, Arnulfo Vigil, vendrá a Chile para participar en la presentación de la Antología Poética "Verbos en Aguaviento", a realizarse el jueves 8 de enero en la Dirección de Extensión de la UACh.
Paralelamente, el editor contempla diversas actividades literarias y académicas para aprovechar su paso por la ciudad. El 7 de enero sostendrá un encuentro con estudiantes de Pedagogía en Lenguaje y Comunicación, y una charla con estudiantes y académicos de la Escuela de Periodismo e Instituto de Comunicación Social. Además, el viernes 9 de enero sostendrá un encuentro con escritores de la región.
Finalmente, cabe señalar que el martes 16 de diciembre a las 19 hrs. en la Dirección de Extensión UACh, el colectivo ContraMarea realizará una lectura poética, a la cual desde ya está invitada toda la comunidad valdiviana y universitaria.

Escrito por César Altermatt V.Periodista Dirección de ExtensiónFono: 63-221927

REFLEXIONES EN TORNO A LA MATEMÁTICA Y LA POESÍA

En estas reflexiones me he permitido traer algunas consideraciones que he presentado en otros escritos, pero que por su pertinencia a éste, lo complementan, haciéndolo un todo más ordenado y posiblemente con un mayor grado de acercamiento a mi línea de pensamiento. Un texto que he querido compartir con todos aquellos que lo deseen, con el propósito de aproximación al tema por parte de quien han tenido la Matemática como su primera y principal fuente, y que posteriormente se ha dedicado con verdadera pasíón a la Poesía, en un intento de quien cambia la dirección de sus pasos, pero con la intención manifiesta de volver su vista al camino recorrido con anterioridad.

El hombre vive en dos mundos o universos, el interno o subjetivo y el externo u objetivo; donde en este último están presentes las circunstancias en que le ha tocado vivir y comunicarse, ya sea con su lenguaje materno o con el corporal, y con algún tipo de lenguaje arquetípico simbólico que en determinados casos se transforma en personal si se trata de la interrelación entre estos dos mundos. El primero contiene sumergido en él, al mundo externo, simplemente como una imagen que es reflejo de éste, o bien como alguna estructuración singular, regida por leyes propias, independientes, distintas a las externas y, es fundamentalmente un universo creado por el propio hombre, de manera consciente o inconsciente. En este mundo interno actúan, las más de las veces armónicamente, sus ideas -con algún grado de sentido semántico y sintáctico-, ideas que pueden ser consecuentes, inconsecuentes, azarosas, sincrónicas o caóticas, ordenadas o desordenadas, también entran en escena la imaginación, su voluntad, sus sentimientos y sus emociones, junto a principios, juicios y prejuicios de todo tipo. En ellos, tanto la Belleza como la Verdad siempre han estado, están y estarán presentes en la realidad del hombre, al lado de los valores y antivalores propios a ellas.

En este punto es necesario introducir lo que puede entenderse por belleza y realidad.

Se puede concebir la belleza como aquella actitud que se expresa en un observador, en un embelesamiento al contemplar libre de todo prejuicio, un objeto que lo atrae, que lo impresiona y que le causa una gran satisfacción, y también como la que se expresa en el encanto que le produce el descubrimiento de alguna ley que ha regido, rige y regirá algún tipo de manifestación, o simplemente como esa sensibilización frente a lo verdadero.

También se puede considerar la realidad como aquello que está constituido por todos los hechos posibles, no sólo los reales, sino también los ficticios, no importando que estos últimos sean contradictorios. Estos hechos determinan que una cosa exista, sea y suceda. También ellos pueden originar, combinándose entre sí con otros hechos o consigo mismo, nuevos elementos, donde estas combinaciones pueden darse por causas naturales o artificiales, en forma ordenada, azarosa, caótica o simplemente sin causa que las provoquen.

Esta realidad, está compuesta no sólo por los elementos (cosas) del mundo exterior, sino también por los del mundo interior. Son éstos los elementos que circunscriben a través de toda la vida, que vigilan el libre transcurrir del día y la noche y que se interrelacionan, tanto objetiva como subjetivamente a través de la riqueza de las imágenes. Son sólo ellos los que han buscado, buscan y buscarán emerger, de las manos de la imaginación y de la razón o sin ella; saliendo, al menos, con un velo que quiere, que desea ser retirado con la suavidad
de la palabra poética, para mostrar la realidad, esa realidad del creador, en todas sus dimensiones. Realidad que al menos puede producir autoencantamiento.

En relación a este autoencantamiento, se puede decir que un buen lector de poesía tiene la actitud de embelezarse contemplando su mundo exterior e interior a través de los creadores como referentes. Y puesto que todos tienen una génesis, un alumbramiento, el que lo desee sólo deberá ventilar o dejar que entren otros aires en su cerebro. No sólo se sorprenderá sino que vivirá intensamente el autoencantamiento.


En el mundo subjetivo, el hombre camina, con su propio ritmo interno, a través de él con su personalidad inconsciente, esa que es inmutable y que no está sujeta a ningún canon o regla y que se manifiesta por medio de mensajes necesarios de alguna interpretación a su personalidad conciente -esa con la que interactúa en el mundo externo- utilizando un lenguaje simbólico, el que puede ser propio y creado por el mismo, o un lenguaje de símbolos de tendencia universal, arquetípico, y que ambos en el común de los hombres se dan a través de los sueños, ya sean estos los propiamente oníricos, o aquellos que aparecen en su vigilia como ensoñaciones de situaciones pasadas, de construcciones para su futuro o simplemente como un despliegue de su imaginación, sin ningún fin específico. En ambos casos los mensajes son, los que llamo urgencias interiores y que se corresponden con el crecimiento de la personalidad consciente o con un mejoramiento del carácter, "condición sine qua non" para poder desarrollarse plenamente como ser humano de tal manera que como ser desarrollado pueda contribuir a la sociedad en la que está inserto o simplemente para una mayor armonía consigo mismo.

Hay casos de personas en que esta entrega de mensajes, correspondiendo o no con algún estudio y análisis investigativo o con alguna reflexión, en cualquiera que sean estos mensajes, los reprocesan utilizando la imaginación y para ello incursionan en el plano de la creatividad, investigando, desarrollando o inventando elementos, que pueden corresponderse con lo Bello o con lo Verdadero, o con ambas a la vez, con o sin ninguna aplicación en el mundo externo en que se desenvuelven. Son los casos de los filósofos, los científicos ya sean de las ciencias puras, biológicas, o sociales y los inventores. Pero es los los artistas, cualquiera que sea la expresión de su arte, en quienes fundamentalmente la Belleza debe estar siempre presente en sus creaciones. En referencia a estos mensajes, se puede agregar aquí, lo siguiente.

Percepciones, sensaciones, emociones, se buscan, se encuentran y en su peregrinar se unen con sentimientos, imágenes e ideas y todos juntos, se engarzan con la naturaleza, el cosmos, el alma individual y el alma colectiva. Esta amalgama se sumerge en profundos hoyos negros, quedando encadenada a las entrañas de éstos, hasta aquel instante en el cual, sincrónicamente, con o sin causa y efecto, o de manera caótica, pero siempre de forma sorprendente, la química cerebral le da impulsos y la hace viajar, en vaivén, entre los hemisferios. En este viaje que efectúa por túneles visita universos con diversidad de dimensiones, posiblemente conocidos, ya sean éstos reflejos de los reales o simplemente ficticios, para obtener en ellos la energía de escape necesaria y así poder emerger a la luz del día. Sólo con esta energía puede romper la gravedad que la retiene y sólo con ella puede estructurarse en un todo ordenado, como si constituyera un modelo matemático. Y al emerger, esta misma energía la hace mostrarse a través de imágenes transformadas en palabras poéticas, al igual como se muestra el limpio color de los ojos que trasunta la alegría de vivir.

Ahora bien, estos mensajes al ser interpretados por el hombre que siente la necesidad de comunicarlos, necesita de un lenguaje plenamente estructurado y con técnicas precisas, como asimismo para quien no los interpreta y los da a conocer simplemente guiándose por parámetros inconscientes. Lo mismo sucede con quienes no sienten ninguna necesidad de comunicarlos, quedando éstos en el plano de una reflexión intrascendente, en el mejor de los casos, pues hay quienes ni siquiera los toman en cuenta.
Si se adentra en el contenido de estos mensajes, muchas veces se determina que ellos son respuestas de problemáticas que el mismo hombre se hace después de haberlas investigado, estudiadas y analizadas y se puede llegar a determinar con o sin algún grado de dificultad, si ellos pueden ser aplicados en el medio en éste se desenvuelve, como es el caso de los inventores filósofos y científicos. Pero también si se observa el contenido de otros, ellos no son nada más que respuestas de algunas reflexiones o simplemente inquietudes de vida. En estos casos se está frente a los artefactos creados por artistas. En cualquiera que sea el caso se requiere de un lenguaje que sea atractivo para quienes lo reciben.

El lenguaje es el vehículo que lo transporta hacia el observador. Este lenguaje no solamente debe estar bien estructurado, sino que debe estar encauzado en lo estético, en formas bellas, para realzarlos y entregarlos apropiadamente, para que impresionen, sorprendan, pero sobre todo que provoquen el autoencantamiento del observador, y ello se da en cualquiera que sea el plano de competencia del mensaje. Así si se trata, por ejemplo de un problema, un teorema de las Matemáticas o de un poema en la Poesía, la solución debe estar caracterizada por la creatividad en que debe estar presente la elegancia, la novedad, lo sorprendente, un mínimo de datos o hipótesis con el mínimo de pasos necesarios para llegar a su solución o a su demostración que en la Poesía se puede interpretar como la síntesis presente en el texto o, si es el caso de alguna Ciencia en particular, el contenido del producto de una investigación debe estar estructurado también de manera elegante, en un lenguaje atractivo para quien lo estudie y analice, llevándolo también a ese autoencantamiento que lo hace estar muy a gusto con la disciplina. Lo mismo debe suceder en cualquiera que sea la disciplina del conocimiento.

Pero hay que insistir que en el caso del Arte y en la Literatura y en particular la Poesía, las bellas formas deben estar siempre presente, a diferencia de las Ciencias Exactas, Biológicas y Sociales, en que el objetivo fundamental es alcanzar las respuestas a las interrogantes que aparecen como hipótesis y por lo mismo se permite que los resultados puedan estar expresados un tanto alejados de la belleza, aunque si ellas estuvieran próximas o en las vías de ella sería tanto mejor, en beneficio de aquellos que acceden a ellas.

Es importante aquí rescatar aquello que la observación de un artefacto bello produce en el observador y en relación a ello se puede tener las siguientes consideraciones.

El sentir intensamente al internarse por los laberintos de un artefacto artístico, en particular por un poema, al reflexionar su mensaje desde una propia óptica, se llega al éxtasis estético, ese que hace trascender los propios espacios de soledad, de silencios, experiencia que se guarda en la memoria, como un acto supremo de vida, pues hace conocer y apreciar la belleza. Éxtasis que lleva a elevarse, desligarse de la materialidad, conectarse con el mundo del espíritu, desde donde no sólo se puede vivir la Belleza, sino que también las grandes Verdades, reales, místicas, aquellas que permiten desarrollarse en plenitud y también a vivirlas en el mundo subjetivo, aunque la personalidad consciente no se percate.

Es a través de expresiones como las artísticas, entre ellas las poéticas, que se puede apreciar y conocer las urgencias interiores que el artista plasma en sus artefactos artísticos, como un mensaje de su mundo interno o de sus propias circunstancias, lo que hace a través de la comunicación que efectúan los símbolos trasuntados en ellos, esos que el artista quiéralo o no, quedan en el espacio para una posterior interpretación. Con este acto de orden superior, usando la imaginación y la intelectualidad con una voluntad de impermeable concentración, se tiene la posibilidad de sorprenderse con un universo ajeno, y que puede complementar el propio, al recrear o internalizar en él, visiones, sensaciones, sentimientos ajenos, experiencias que tienen la riqueza de dar a conocer nuevos y distintos caminos con los que se puede crecer aún más.

Desde este estadio, al volver a la realidad, leyendo y releyendo la simbología de los colores, silencios y formas, manifestadas en ritmos, melodías, imágenes, metáforas, expresados en los artefactos artísticos, y al efectuar profundas reflexiones en torno a ellos, se puede llegar, entre otras cosas relevantes, a tomar el Humanismo como filosofía de vida y encarnar sus valores en todo el ser, tanto en la personalidad inconsciente, subjetiva, como en la objetiva, consciente; pues sólo en esos momentos cósmicos, el ser trasciende su propia materialidad, ya que es desde la altura, que se establecen caminos que conducen a la armonía personal y social. Aún más, se puede llegar a apreciar, desde ese lugar al que conduce el éxtasis, las cosas relevantes de la vida, de una manera que trasciende toda realidad material que circunscribe el diario caminar y que aleja de los asuntos realmente sin importancia.

En relación a los mensajes mismos, se puede agregar el hecho, que estos no se dan sin un conocimiento previo, el que proviene de la experiencia misma de la vida, donde se puede considerar, que este conocimiento es una relación entre sujeto y objeto los cuales permanecen en esta relación siempre separados el uno del otro. La función del sujeto es la de aprehender al objeto y la del objeto la de ser aprehendido por el sujeto en cuanto que conoce, siente y quiere. El instrumento mediante el cual la conciencia aprende su objeto, es la imagen. El objeto puede ser real o ideal, donde lo real es lo que nos es dado en la experiencia externa o interna o se infiere de ella. Los objetos ideales se presentan como irreales o simplemente como meramente pensados. Las concordancias entre la imagen que se tiene de un objeto y el objeto mismo o el contenido del pensamiento con tal objeto es la verdad. Un conocimiento falso es error o ilusión. Un objeto no puede ser verdadero ni falso, se encuentra más allá de la verdad y falsedad. El concepto de verdad tiene la trascendencia del objeto. Ahora si se analiza el sujeto cognoscente, el hombre, se puede concluir que es un ser espiritual y sensible y por ello para él debe haber un conocimiento espiritual y otro sensible, donde la fuente del primero es la razón y la del segundo la experiencia.

En relación a la Matemática, se puede decir que es la disciplina que, o bien formula mediante su lenguaje riguroso y apropiado, el modelamiento de variadas situaciones reales o irreales, ya sea éstas, leyes por medio de las cuales se rigen los fenómenos, donde éstas son capaces de describir series de fenómenos los que pueden ser comprobados por medio de la observación de los hechos y de la experimentación y sean capaces de predecir acontecimientos futuros o las que se corresponden con situaciones meramente ideales y que provienen del ejercicio del pensar, sin otro objetivo que el de tratar de obtener la falsedad o veracidad de conjeturas en relación a la estructuras que rigen el Universo, o también determinar aquellas que lleven a inconsistencias o a paradojas. Es decir la Matemática acompaña desde siempre al hombre en su eterna búsqueda por la verdad.

Por otro lado, la Poesía que también ha acompañado al hombre desde los comienzos de la humanidad, utiliza también un lenguaje riguroso y propio, pero simplemente para mostrar la belleza del Universo en que está circunscrito juntamente con sus circunstancias y no para describir situaciones reales o irreales, ni menos se interesa si ellas sean o no modelos de leyes que describan comportamientos de fenómenos de la naturaleza o del ejercicio del pensar y, tampoco si ellas sean conjeturas verdaderas, falsas o se correspondan con paradojas o inconsistencias; muy por el contrario en la poesía pueden darse aquellas que sorprendentemente sean contradictorias, inconsistentes, pues éstas son las que precisamente más impresionan la sensibilidad del espíritu humano, razón de ser de la Poesía.

Tanto en la Matemática como en la Poesía hay estructuras formales bien definidas que deben cautelarse. Si bien es cierto que en su aspecto sintáctico, ambas deben tener una lógica que les permita desarrollar su lenguaje simbólico, en lo semántico no hay una lógica para la poesía, pues ésta se mantiene en el ámbito de variadas interpretaciones que la hacen más rica en su contenido, a diferencia de la primera en que la interpretación es rígida, aunque ambas utilizan las analogías para su desarrollo. Analogías que conducen a imágenes y metáforas en la poesía que concatenadas o no, llevan a obtener un cuadro mental de lo que ella quiere transmitir y que en la Matemática permiten deducir o resolver situaciones mediante ellas.

Lo anterior lleva de inmediato a adentrarse en el terreno mismo de la poesía en que los elementos determinantes, por un lado son el contenido y por el otro la formalidad, teniendo en cuenta que el contenido de un mensaje para que sea un artefacto realmente artístico, las formas que los encapsulen, deben estar dados en estructuras bellas.Por otro lado una forma bella contribuye a mostrar también la belleza, las verdades, la Verdad que es eterna, "Un ave sin su forma aerodinámica bella, no podría volar como lo hace", las bellas formas permiten realzar, hacer más interesantes los mensajes y en el caso de la Matemática misma permiten al estudioso de esta disciplina adentrarse en ella con una mayor motivación y expectativa en la que lo utilitario pasa a segundo plano sumergiéndose él bajo el creciente interés de su encuentro con las respuestas que busca, independiente de su grado de veracidad. En suma la trilogía Verdad-Belleza-verdad debe ser y debe estar siempre presente en ambas disciplinas alumbradas por la belleza, como así también debiera suceder en cualquier disciplina del conocimiento que se estudie y desarrolle de una forma eficiente y seria.

Lionel Henriquez Barrientos.
Instituto de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad Austral de Chile
Valdivia, Chile, Enero de 2009

POESÍA, una aproximación.

METAPOESÍA, una aproximación



Toda Teoría del Conocimiento tiene un lenguaje propio en el que se ella se desenvuelve o desarrolla, tanto sintáctica como semánticamente.

Así, por ir a lo más simple:

En la Aritmética, los símbolos correspondiente a los números, a las operaciones como la adición (+), la multiplicación (x), relaciones como la igualdad entre números (=) y otros símbolos de su uso, juntamente con las reglas de formación -que permiten escribir adecuadamente las expresiones aritmética y que sean entendible para cualquiera que las lea o estudie, por ejemplo escribir 2+5 = 7 y no escribir 2=5 7-, son parte de la sintáctica de la Aritmética. Cuando se interpreta la igualdad 2+5 = 7, o el planteamiento de un problema, entre muchas otras proposiciones en que la interpretación es lo sustantivo, se está frente a lo semántico de esta rama de las matemáticas.

En cambio en la Poesía, la sintaxis, corresponde a los elementos con los que se efectúa la arquitectura de un poema. Para decirlo en palabras simples, son las palabras, frases, versos, metáforas, imágenes, rima, acentos, etc., junto a las reglas con las que se forman ellos y, que al concatenarse conforman un texto poético (serían como los símbolos a que hago mención en el párrafo en que me refiero a la Aritmética). La interpretación del texto sería lo semántico.

Cualquiera que sea la Teoría, ella tiene un Metalenguaje, que no es nada más que el lenguaje que se pone a disposición del desarrollo de la disciplina, pero desde afuera de ella, así por ejemplo:

En la Aritmética el español es el lenguaje en el cual se interpretan los números, operaciones y relaciones entre ellos, con los cuales se va desarrollando la teoría y con él se permiten construir algoritmos que permiten hacer cálculos, por decirlo de una manera sencilla.

De acuerdo a lo anterior, en la poesía su Metalenguaje es el Lenguaje usado, con el que se trata o desarrolla teoricamente la poesía, tanto en lo corresponde a su aspecto sintáctico, como en el semántico. Diciéndolo sin la profundidad que pudiera llevar a un lego en la materia a las complicaciones y dificultades naturales que se le pueden presentar al leer acerca de esta temática, “la Metapoesía" debiera ser el estudio de los aspectos teóricos de la Poesía a través de un Metalenguaje, que en nuestro caso de hispanoparlantes debiera ser el español. Pero para el lenguaje de la poesía misma quedó fijada la misma poesía como su metalenguaje y ello alejándose de lo que para cada Metateoría debiera ser su Metalenguaje. Esto queda claramente expuesto en ” Definición, Manifiesto y decálogo de la Metapoesía” de Pedro Provencio en "La corte de los poetas", en Revista de Occidente, 1983, en el Manifiesto de la Metapoesía en “Una apuesta discursiva para la Metacreación Literaria en América y el mundo “Del Caribe para el mundo” Poéticas españolas contemporáneas, Hiperión, Madrid, de Guillermo Carnero, 1988, o como lo dice Octavio Paz en su “Decágolo de la Metapoesía”, entre otras publicaciones al respecto.

Ahora bien, cuando se usa el metalenguaje para tratar una Teoría, se está haciendo MetaTeoría (lo más general de todo, pues abarca a todas y cada una de las Teorías), así existe Metamatemática, Metapoesía, Metatexto, Metafísica, etc. (basta poner el prefijo Meta y se está en la Metateoría, en lo particular se puede llegar a un Metapoema partiendo de un Poema). Así por ejemplo al decir en un poema (poéticamente), como debe construirse un Soneto, se estaría haciendo Metapoesía, con el lenguaje mismo de la poesía, que pasaría a ser su Metalenguaje.

Lionel Henriquez B.
Valdivia, Abril de 2009.